Fonctions usuelles.
Fonction carrée.
Définition.
On appelle fonction carré la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et qui à un réel $x$ associe le nombre réel $x^2$. On note alors $f(x)=x^2$ ou bien $x\to x^2.$
- Nous avons l'équivalence suivante: La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
$\Leftrightarrow$ Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $a^2 < b^2$.
Montrons donc l'assertion: Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $a^2 < b^2$.
$a^2-b^2=(a-b)\times(a+b)$, comme $a\geq 0$ et $b\geq 0$ et $a < b$ le nombre $(a+b)>0$. En effet si $a+b=0$ veut dire que $a=b=0$ ce qui est impossible puisque $a < b$. De plus $a-b < 0$ puisque $a < b$. Donc le produit $(a-b)\times(a+b)$ est stictement négatif.
$(a-b)\times(a+b) < 0$ $\Leftrightarrow$ $a^2-b^2 < 0$ $\Leftrightarrow$ $a^2 < b^2$. - Nous avons l'équivalence suivante: La fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$
$\Leftrightarrow$ Si $a$ et $b\in]-\infty;0]$ avec $a < b$ alors $a^2>b^2$.
Montrons donc l'assertion: Si $a$ et $b\in]-\infty;0]$ avec $a < b$ alors $a^2>b^2$.
$a^2-b^2=(a-b)\times(a+b)$, comme $a\leq 0$ et $b\leq 0$ et $a < b$ le nombre $(a+b) < 0$. En effet si $a+b=0$ veut dire que $a=b=0$ ce qui est impossible puisque $a < b$. De plus $a-b < 0$ puisque $a < b$. Donc le produit $(a-b)\times(a+b)$ est stictement positif.
$(a-b)\times(a+b) > 0$ $\Leftrightarrow$ $a^2-b^2 >0$ $\Leftrightarrow$ $a^2 > b^2$.
- La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
- Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $a^2 < b^2$.
- La fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$.
- Si $a$ et $b\in[-\infty;0[$ avec $a < b$ alors $a^2>b^2$.
Théorème.
L'équation $x^2=a$ possède :
- deux solutions si $a>0$ : $\mathcal{S}=\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\}$ ,
- une solution si $a=0$, on a $\mathcal{S}=\{0\}$ ,
- aucune solution si $a < 0$, on a $\mathcal{S}=\emptyset$.
- Si $a < 0$, nous savons que pour tout $x\in\mathbb{R}$ on $x^2\geq 0$, donc il n'existe pas de solution, on écrit cela $\mathcal{S}=\emptyset$.
- si $a>0$ on sait que $a=(\sqrt{a})^2$. On a donc : $x^2=a$ $\Leftrightarrow$ $x^2-a=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2-(\sqrt{a})^2=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0$ $ \Leftrightarrow$ $x-\sqrt{a}=0$ ou $x+\sqrt{a}=0$ $ \Leftrightarrow$ $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$
- Si $a=0$ on a: $x^2=0$ $\Leftrightarrow$ $x\times x=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ ou $x=0.$ Donc $x=0$ est la solution de l'équation.
- Nous avons l'équivalence suivante: La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
$\Leftrightarrow$ Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $a^2 < b^2$.
Fonction racine carrée.
- La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
- Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
- ${\sqrt{a}~~}^2=a$.
- $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.
- $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ avec $b\not=0$.
- ${\sqrt{a}}^n=\sqrt{a^n}$ avec $a\not=0$ $n\in\mathbb{Z}$.
- $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$.
- Le nombre $\sqrt{x+b}$ existe $\Leftrightarrow$ $x+b\geq 0$ $\Leftrightarrow$ $x\geq -b$, donc le domaine de définition de $f$ est $[-b;+\infty[$
- Le signe de $a$ donne une indication sur la variation de $f$.
- Le point $S(-b;c)$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
Fonction cube.
- La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- $a < b$ $\Rightarrow$ $a^3 < b^3$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
- Pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$ on a: $\sqrt[3]{a\times b}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$.
- Pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}^\star$ on a: $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$.
- Nous savons d'aprés la définition de la racine cubique que le nombre réel $\sqrt[3]{a\times b}$ est l'unique solution de l'équation $X^3=a\times b$.
Calculons $\Bigg(\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}\Bigg)^3$ $=(\sqrt[3]{a})^3\times(\sqrt[3]{b})^3$ $=a\times b$. Donc le nombre $\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$ est aussi une solution de l'équation $X^3=a\times b$.
Puisque la solution est unique nous avons donc $\sqrt[3]{a\times b}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$. - De même, nous savons d'aprés la définition de la racine cubique que le nombre réel $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}$ est l'unique solution de l'équation $X^3=\dfrac{a}{b}$.
Calculons $\Bigg(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\Bigg)^3$ $=\dfrac{(\sqrt[3]{a})^3}{\sqrt[3]{b})^3}$ $=\dfrac{a}{b}$. Donc $\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ est aussi une solution de l'équation $X^3=\dfrac{a}{b}$.
Puisque la solution est unique nous avons donc $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$. Fonction Inverse.
- Supposons $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$, donc $a < 0$, $b < 0$ et donc nous avons $ab>0$ et $b-a>0$.
Donc nous avons $\dfrac{b-a}{ab}>0$, ce qui implique $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Nous avons donc démontré que : Si $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Ce qui est équivalent à dire La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$. - Supposons $a\in]0;+\infty[$ et $b\in]0;+\infty[$ avec $a < b$ donc $a>0$, $b>0$ et donc nous avons $ab>0$ et $b-a>0$.
Donc nous avons $\dfrac{b-a}{ab}>0$, ce qui implique $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Nous avons donc démontré que : Si $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Ce qui est équivalent à dire La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$. - La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
- Si $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
- La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
- Si $a\in]0;+\infty[$ et $b\in]0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Fonction valeur absolue.
- Soit $x\in\mathbb{R}$ on appelle valeur absolue de $x$ le nombre égal à la distance sur la droite des réels entre $x$ et 0. On note la valeur absolue de $x$ par $|x|$.
- Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On appelle distance entre $a$ et $b$, notée $d(a;b)$, la distance sur la droite numérique des points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $a$ et $b$.
On démontre que $d(a;b)=|a-b|$. 
$|5|=5$- $|-2|=2$
- $|0|=0$
- Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $|x|\geq 0$.
- Dire que $|x|=0$ équivaut à dire que $x=0$.
- Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $|-x|=|x|$.
- $|x|=|y|$ équivaut à $x=y$ ou $x=-y$.
- Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $|x^2|=x^2$.
- Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et pour tout $y\in\mathbb{R}$, on a $|x\times y|=|x|\times|y|$.
- $a\geq 0$: les solutions de $\mathcal{E}$ sont $S=\big\{-a;a\big\}$.
- $a < 0$: l'équation $\mathcal{E}$ n'a pas de solution $S=\emptyset$.
- $f(x)=0$.
- $f(x)=4$.
- $f(x)=-1$.
- $|2x+1|=0$ $\Leftrightarrow$ $2x+1=0$ $\Leftrightarrow$ $x=-\dfrac{1}{2}$.
- $|2x+1|=4$ $\Leftrightarrow$ ($2x+1=4$ ou $2x+1=-4$) $\Leftrightarrow$ ($x=-\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\dfrac{5}{2}$) .
- $|2x+1|=-1$ égalité impossible car $|2x+1|\geq 0$.
Valeur approchée d'un nombre réel.
Définitions.
- On dit que $a$ est une valeur approchée de $x$ à $\epsilon$ près si $|x-a|\leq\epsilon$.
- On dit que $a$ est une valeur approchée de $x$ à $\epsilon$ près, par défaut si $a\leq x\leq a+\epsilon$.
- On dit que $a$ est une valeur approchée de $x$ à $\epsilon$ près, par excès si $a-\epsilon\leq x\leq a$.
Relations entre racine carrée et valeurs absolue.
Proposition.
- Pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a: $\sqrt{x^2}=|x|$.
- Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et $x\geq 0$ on a: $(\sqrt{x})^2=x$.
Fonction valeur absolue.
Définition.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ qui a un réel $x$ associe le nombre $|x|$, s'appelle fonction valeur absolue.
Exercice.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|x+3|+|1-x|-|x-5|$.
- Exprimer $f(x)$ sans les barres de valeur absolue.
- Représenter $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de $f$.
- Si $x\in ]-\infty;-3]$ on a $f(x)=-x-3+1-x+x-5=-x-7$.
- Si $x\in [-3;1]$, on a $f(x)=x+3+1-x+x-5=x-1$.
- Si $x\in [1;5]$, on a $f(x)=x+3+x-1+x-5=3x-3$.
- Si $x\in [5;+\infty[$, on a $f(x)=x+3+x-1-x+5=x+7$.
Cliquer sur la courbe qui correspond à la fonction f, donnée ci-dessous.
Nous pouvons reconnaître $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f(x)=a\times |x+b|+c$ avec $a\not=0$, en utilisant plusieurs critères possibles:- Le signe de $a$ donne une indication sur l'orientation des branches de la courbe.
- Le signe de $\dfrac{-c}{a}$ donne une indication sur le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe $(ox)$.
- Les coordonnées du sommet $S(-b;c)$.
- L'ordonnée à l'origine $f(0)=a\times|b|+c$
Unité en x= Unité en y=
Définition.
On appelle fonction racine carré la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ et qui à un réel $x\geq 0$ associe le nombre réel $\sqrt{x}$. On note alors $f(x)=\sqrt{x}$ ou bien $x\to\sqrt{x}$.
Egalités remarquables
Soient deux réels $a$ et $b$ positifs ($a\geq 0$, $b\geq 0$).
Démontrons l'assertion: Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
Montrons que si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$. Supposons que $\sqrt{a}+\sqrt{b}=0$ comme $\sqrt{a}\geq 0$ et $\sqrt{b}\geq 0$
la seule possibilité est que nous ayons $\sqrt{a}=\sqrt{b}=0$, donc $a=b=0$, or $a < b$, c'est donc impossible. L'hypoyhése est donc fausse, mais $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 0$.
Conclusion $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.
Nous savons que $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ $\Rightarrow$ $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.
Nous avons $\Bigg\{
\begin{array}[pos]{c}
a-b < 0\\
\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\\
\end{array}.
$ $\Rightarrow$ $\sqrt{a}-\sqrt{b} < 0$, donc $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
Cliquer sur la courbe qui correspond à la fonction f, donnée ci-dessous.
Nous pouvons reconnaître $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f(x)=a\times\sqrt{x+b}+c$ avec $a\not=0$, en utilisant plusieurs critères possibles:
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Définition.
On appelle fonction cube la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et qui à un réel $x$ associe le nombre réel $x^3=x\times x\times x$. On note alors $f(x)=x^3$ ou bien $x\to x^3.$
Montrons que si $a < b$ alors $a^3 < b^3$.
on sait que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
vérifions que $a^2+ab+b^2=(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2$.
$(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2$ $=(\dfrac{1}{4}a^2+2\times\dfrac{1}{2}a\times b+b^2)+\dfrac{3}{4}a^2$ $=a^2+ab+b^2$. Montrons que le nombre réel $a^2+ab+b^2$ est strictement positif pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$.
$a^2+ab+b^2=(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$ puisque $(\dfrac{1}{2}a+b)^2\geq 0$ et $\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$.Supposons que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2=0$ la seule possibilité pour cela soit vraie est que $\dfrac{3}{4}a^2=0$ et $(\dfrac{1}{2}a+b)^2=0$.
Donc $a=0$ et $\dfrac{1}{2}a+b=0$, donc $b=0$ aussi, donc $a=b=0$, mais nous savons que $a < b$, cela est donc impossible.
Nous avons donc montré que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\not=0$.
De plus nous savons que $(a-b) < 0$ car $a < b$, donc le produit $(a-b)(a^2+ab+b^2) < 0$ donc $a^3-b^3 < 0$.
Nous venons donc de montrer l'assertion $a < b$ $\Rightarrow$ $a^3 < b^3$.
La fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
$(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2$ $=(\dfrac{1}{4}a^2+2\times\dfrac{1}{2}a\times b+b^2)+\dfrac{3}{4}a^2$ $=a^2+ab+b^2$. Montrons que le nombre réel $a^2+ab+b^2$ est strictement positif pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$.
$a^2+ab+b^2=(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$ puisque $(\dfrac{1}{2}a+b)^2\geq 0$ et $\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$.Supposons que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2=0$ la seule possibilité pour cela soit vraie est que $\dfrac{3}{4}a^2=0$ et $(\dfrac{1}{2}a+b)^2=0$.
Donc $a=0$ et $\dfrac{1}{2}a+b=0$, donc $b=0$ aussi, donc $a=b=0$, mais nous savons que $a < b$, cela est donc impossible.
Nous avons donc montré que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\not=0$.
Remarque
Nous venons ici de faire un raisonnement couramment utilisé en mathématique, c'est le raisonnement par l'absurde. Quand on ne peut pas démontrer une assertion directement, on suppose le contraire et on montre que cela est impossible. C'est bien ce nous avons fait ici pour démontrer que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\not=0$.
Conclusion: pout tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$ $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2>0$.De plus nous savons que $(a-b) < 0$ car $a < b$, donc le produit $(a-b)(a^2+ab+b^2) < 0$ donc $a^3-b^3 < 0$.
Nous venons donc de montrer l'assertion $a < b$ $\Rightarrow$ $a^3 < b^3$.
La fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Courbe représentative de la fonction cube.
Croissance de la fonction cube.
Formulaire.
Théoréme.
L'équation $x^3=a$ avec $a\in\mathbb{R}$ posséde une unique solution que l'on appelle la racine cubique de $a$.
La racine cubique de $a$ se note $\sqrt[3]{a}$.
On a: $x^3=a\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{a}.$
Propriétés de la racine cubique (admises en seconde).
Variations et représentation graphique.
nous avons la relation $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$ $=\dfrac{b-a}{ab}$ pour tout $a\not=0$ et $b\not=0$.
Définition.
On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}-\{0\}$ et qui à un réel $x\not=0$ associe le nombre réel $\displaystyle\frac{1}{x}$. On note alors $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ ou bien $x\to\displaystyle\frac{1}{x}$.
Théorème.
Définition.
Exemples;
Interprétation géométrique.
Propriétés.
Proposition.
Résolution de l'équation $\mathcal{E}:|x|=a$.Exercice.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|2x+1|$. Résoudre les équations suivantes: