• Résoudre $f(x)=0$, revient a regarder les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisse. On remarue qu'il y a donc deux solution possible.
• $f(x)=2\bigg[\bigg(x-\dfrac{3}{4}\bigg)^2-\dfrac{17}{16}\bigg]$ $=2\bigg[\bigg(x^2-2\times x\times\dfrac{3}{4}+(\dfrac{3}{4})^2\bigg)-\dfrac{17}{16}\bigg]$ $=2\bigg[\bigg(x^2-\dfrac{3}{2}\times x+\dfrac{9}{16}\bigg)-\dfrac{17}{16}\bigg]$ $=2\bigg[x^2-\dfrac{3}{2}\times x-\dfrac{1}{2}\bigg]$ $=2x^2-3x-1$.
• $2\bigg[(x-\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{17}{16}\bigg]$ $=2\bigg[(x-\dfrac{3}{4})-\sqrt{\dfrac{17}{16}}\bigg]\times\bigg[(x-\dfrac{3}{4})+\sqrt{\dfrac{17}{16}}\bigg]$ $=2\bigg[(x-\dfrac{3}{4})-\dfrac{\sqrt{17}}{4}\bigg]\times\bigg[(x-\dfrac{3}{4})+\dfrac{\sqrt{17}}{4}\bigg]$.
• $2\bigg[(x-\dfrac{3}{4})-\dfrac{\sqrt{17}}{4}\bigg]\times\bigg[(x-\dfrac{3}{4})+\dfrac{\sqrt{17}}{4}\bigg]=0$ $\Leftrightarrow$ $\bigg[(x-\dfrac{3}{4})-\dfrac{\sqrt{17}}{4}\bigg]=0$ ou $\bigg[(x-\dfrac{3}{4})+\dfrac{\sqrt{17}}{4}\bigg]=0$.
  Donc:
  • $x=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{17}}{4}=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}$
  • ou bien $x=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{17}}{4}=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}$.

Théorème.

Tout trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\not=0$, s'écrit de façon unique sous la forme:
$a(x-\alpha)^2+\beta$. L'écriture $a(x-\alpha)^2+\beta$ est appelée la forme canonique du trinôme $P$.

• Si on pose $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et,
• $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$

Définition.

Soit $ax^2+bx+c$ un trinôme du second degré avec $a\not=0$.
On appelle discriminant du trinôme, le réel noté $\Delta$ défini par: $\Delta=b^2-4ac$.

Exemples.

• $P(x)=x^2+x+1$
• $Q(x)=5x^2+3x-1$

• $P(x)=$$x^2+x$$+1$ $=(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}$$+1$ $=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}$.
• $Q(x)=$$5x^2+3x$$-1$ $=(x+\dfrac{3}{10})^2-\dfrac{9}{100}$$-1$ $=(x+\dfrac{3}{10})^2-\dfrac{109}{100}$.

Théorème.

Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\not=0$, considérons l'équation $P(x)=0$.

• Si $\Delta>0$, alors $P$ admet deux racines réelles distinctes:
  $x_0=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. et pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $P(x)=a(x-x_0)(x-x_1)$.
• Si $\Delta=0$, alors $P$ admet une seule racine réelle (racine double):
  $x_0=\dfrac{-b}{2a}.$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $P(x)=a(x-x_0)^2$.
• Si $\Delta<0$, alors $P$ n'admet pas de racines réelles et on ne peut pas factoriser $P(x)$.

Exercice.

• Résoudre l'équation $f(x)=0$
• Donner le tableau de signes de la fonction $f$.
• Factoriser $f(x)$.

Exemples.

Résoudre les équations du second degré suivantes.

• $x^2-x-6=0$
• $16x^2+8x+1=0$
• $x^2+x+1=0$

• Résolution de l'équation : $x^2-x-6=0$, on a $a=1$, $b=-1$ et $c=-6$.
  $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times(-6)=1+24=25>0$, alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes:
  $x_0=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-1)-\sqrt{25}}{2}=-2$ et $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-1)+\sqrt{25}}{2}=3$.
• Résolution de l'équation : $16x^2+8x+1=0$, on a $a=16$, $b=8$ et $c=1$.
  $\Delta=b^2-4ac=8^2-4\times 16\times 1=0$, alors l'équation admet une seule racine réelle (racine double):
  $x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-8}{32}=-\dfrac{1}{4}$.

  Remarque.

  On aurait pu résoudre cette équation en remarquant que $16x^2+8x+1$ est une identité remarquable, en effet
  $16x^2+8x+1=(4x+1)^2$, donc $16x^2+8x+1=0$ $\Leftrightarrow$ $(4x+1)^2=0$ $\Leftrightarrow$ $(4x+1)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=-\dfrac{1}{4}$.

• Résolution de l'équation : $x^2+x+1=0$, on a $a=1$, $b=1$ et $c=1$.
  $\Delta=b^2-4ac=(1)^2-4\times 1\times 1=-3 < 0$, alors l'équation n' admet pas de solution réelle .
  

Théorème.

Soit $P$ la fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par: $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\not=0$.
Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant de $P$.

• Si $\Delta>0$, et si $x_0$ et $x_1$ désignent les racines de $P$, avec $x_0 < x_1$, alors
  $P(x)$ est du signe de $a$ si et seulement si $x\in]-\infty;x_0[\cup]x_1;+\infty[$.
  On dit aussi que $P(x)$ est du signe de $a$ en dehors des racines.$~~~~~~~~$
• Si $\Delta=0$ alors $P(x)$ est du signe de $a$ si et seulement si $x\not=\displaystyle\frac{-b}{2a}$.$~~~~~~~~$
• Si $\Delta<0$ alors $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.$~~~~~~~~$

Définition.

On appelle inéquation du second degré toute inéquation de la forme:
$ax^2+bx+c < 0$ ou $ax^2+bx+c>0$ ou $ax^2+bx+c\leq0$ ou $ax^2+bx+c\geq0$ où $a,b,c\in\mathbb{R}$ avec $a\not=0$.

• Nous avons: $f(x)>g(x)$ $\Leftrightarrow$ $x^2-1>2x+1$ $\Leftrightarrow$ $x^2-2x-2>0$.
  Etudions le signe du trinome $x^2-2x-2$, on a $a=1$, $b=-2$ et $c=-2$.
  $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times (-2)=4+8=12>0$. Calculons les racines de $x^2-2x-2$.
  $x_0=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-2)-\sqrt{12}}{2}$ et $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-2)+\sqrt{12}}{2}$, comme $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
  Donc $x_0=1-\sqrt{3}$ et $x_1=1+\sqrt{3}$.
  Nous savons que $x^2-2x-2>0$ pour tout $x\in]-\infty;1-\sqrt{3}[\cup ]1+\sqrt{3};+\infty[$. Nous avons donc le tableau de signes ci-contre.
  Grâce au tableau de signes de $f(x)-g(x)=x^2-2x-2$, nous avons $f(x)>g(x)$ $\Leftrightarrow$ $x\in]-\infty;1-\sqrt{3}[\cup ]1+\sqrt{3};+\infty[$.

  
• Résoudre graphiquement l'équation $f(x)>g(x)$, revient à regarder quand la courbe de $f$ est au dessus de la courbe de $g$.

Théorème.

Soit $f$ la fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a,b,c\in\mathbb{R} $et $a\not=0$. Le sens de variation de la fonction $f$ dépend du signe de $a$ on a:

Cas: $a>0$

• $f$ est croissante sur l'intervalle $[-\dfrac{b}{2a};+\infty[$.
• $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty;-\dfrac{b}{2a}]$.
• $f$ amet un minimum égal à $-\dfrac{\Delta}{4a}$ atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}$.

Cas: $a < 0$

• $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[-\dfrac{b}{2a};+\infty[$.
• $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty;-\dfrac{b}{2a}]$.
• $f$ amet un maximum égal à $-\dfrac{\Delta}{4a}$ atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}$.

Théorème.

Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un trinôme du second degré, si $\Delta\geq 0$. on les relation suivantes:

• $x_0+x_1=\dfrac{-b}{a}$.
• $x_0\times x_1=\dfrac{c}{a}$.
• $P(\dfrac{x_0+x_1}{2})=\dfrac{-\Delta}{4a}$.

• Le signe de $a$ donne une indication sur l'orientation des branches de la parabole.
• Le signe de $\Delta$ donne une indication sur le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe $(ox)$.
• Les coordonnées du sommet $S(\dfrac{-b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a})$.
• L'ordonnée à l'origine $f(0)=c$, donne aussi une bonne indication de position.

Cliquer sur la courbe qui correspond à la fonction f, donnée ci

• On peut conjecturer qu'il y a 4 solutions pour l'équetion $f(x)=0$.
• Résolvons l'équation du second degré $\theta^2-3\theta+2=0$.
  $\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 2=9-8=1>0$, donc l'équation $\theta^2-3\theta+2=0$ admet deux solutions réelles distinctes.
  $x_0=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2}=1$ et $x_1=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2}=2$.
• Posons $\theta=x^2$, on a donc l'équivalence:
  $x^4-3x^2+2=0$ $\Leftrightarrow$ $\theta^2-3\theta+2=0$.
  Donc on a $x^2=1$ ou $x^2=2$ $\Leftrightarrow$ ($x=1$ ou $x=-1$) ou ($x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$).
  On écrit si $S$ représente l'ensemble des solutions de $f(x)=0$, $S=\{-\sqrt{2};-1;1;\sqrt{2}\}$.