Produit scalaire dans le plan.
Définition et différentes expressions du produit scalaire dans l'espace.
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}\geq 0$.
- $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ implique $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.
- $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||2\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[4\times ||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]$ $=||\overrightarrow{u}||^2\geq 0$.
- Grâce au rôle symétrique des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, supposons que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
Nous avons donc $\overrightarrow{0}.\overrightarrow{v}$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{0}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{0}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]=0$. Autres expressions du produit scalaire.
Expression analytique.
Soit $\mathcal{R}=(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère orthonormé, et soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(x;y)$ et $(x';y')$ dans $\mathcal{R}$, alors on a: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$.
Rappel:
Dans un repére orthonormé, nous savons que si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\\ \end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$ (théorème de Pythagore).
Donc si $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\ \end{pmatrix}$, nous avons
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[(x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2)\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[2xx'+2yy'\bigg]=xx'+yy'$.Exemples.
- Dans un repère orthonormé $\mathcal{R}$, calculons $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$, avec $\overrightarrow{u}(2;-3)$ et $\overrightarrow{v}(2;-1)$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2\times2+(-3)\times(-1)=4+3=7.$ - Dans un repère orthonormé $\mathcal{R}$, calculons $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, avec $A(1;-3)$, $B(0,2)$ et $C(-2,5)$.
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}0-1\\2-(-3)\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}-1\\5\\ \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}x_C-x_A\\y_C-y_A\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}-2-1\\5-(-3)\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}-3\\8\\ \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3+40=43$.
Expression en fonction de l'angle $(\vec{u},\vec{v})$.
- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls, alors on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. - Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts deux à deux, nous avons
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$.
Exemple.
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que $||\overrightarrow{u}||=2$; $||\overrightarrow{v}||=3$ et $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{4}$.
Alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2\times 3\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.$
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de même sens alors nous savons que $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0~~[2\pi]$, donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(0)$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||$.
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de sens contraire alors nous savons que $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\pi~~[2\pi]$, donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\pi)$ $=-||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||$.
Corollaire.
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de même sens, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||.$
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de sens contraire, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||.$
Exercice.
On considère $ABCD$ et $BEFC$ deux carrés de coté $a$. Calculer les produits scalaires suivants:
- $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.
- $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EF}$.
- $\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{EB}$.
- $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}$.
- $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{FA}$.
- $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=a\times (a\sqrt{2})\times \cos(\dfrac{\pi}{4})$ $=a^2\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.
- $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EF}$ $=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{EF}||\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EF})$. Nous savons que l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EF})=\dfrac{\pi}{2}~~[2\pi]$; donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EF}=a\times a\times \cos(\dfrac{\pi}{2})=0$.
- $\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{EB}$ $=||\overrightarrow{DC}||\times||\overrightarrow{EB}||\times\cos(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{EB})$. Nous savons que l'angle $(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{EB})=\pi~~[2\pi]$; donc $\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{EB}=a\times a\times \cos(\pi)=-a^2$.
- $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}$ $=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{EG}||\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG})$. Nous savons que l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EG})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$; donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}=a\times a\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.
- $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{FA}$ $=||\overrightarrow{AF}||\times||\overrightarrow{FA}||\times\cos(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{FA})$. Nous savons que l'angle $(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{FA})=\pi~~[2\pi]$; donc $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{FA}=-AF^2=-(a^2+4a^2)=-5a^2$.
Projection orthogonale.
Propriété.
Soient les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et soient $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$ alors on a: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}.$
Démonstration.
Soient $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$, en utilisant la relation de Chasles nous avons $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}$, donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC})$.
Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}$ (voir propriétés algébriques).
Or nous savons que $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{HC})=\dfrac{\pi}{2}~~[\pi]$.
Nous en déduisons que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{HC}||\times\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$, donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$.Figure.
Exemple.
On considère $ABCD$ et $BEFC$ deux carrés de coté $a$. Calculer les produits scalaires suivants:
- $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$.
- $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AD}$.
- $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{FC}$.
Correction.
- Calculons $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$, le projeté orthogonal de $F$ sur la droite $(AB)$ est le point $E$. Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}$ $=||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AE}||=a\times 2a =2a^2$.
- Calculons $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AF}$, le projeté orthogonal de $F$ sur la droite $(AD)$ est le point $D$. Donc $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}=||\overrightarrow{AB}||^2=a^2$.
- Calculons $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{FC}=-\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AB}$, le projeté orthogonal de $F$ sur la droite $(AB)$ est le point $E$. Donc $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{FC}=-\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}$ $=-||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AE}||$ $=-a\times 2a =-2a^2$.
Propriétés algébriques du produit scalaire.
Munissons nous d'un repère $\mathcal{R}=(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ orthonormé, ce qui est toujours possible.
- Propriété déjà démontrée sans les coordonnées et évidente avec les coordonnées.
- Soit $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et deux vecteurs $\overrightarrow{w}$ de coordonnées respectives $(x;y)$, $(x';y')$ et $(x'';y'')$ dans $\mathcal{R}$
$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ $=x(x'+x'')+y(y'+y'')$ $=(xx'+yy')+(xx''+yy'')$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$. - $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}.(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$
$=\overrightarrow{w}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}.\overrightarrow{v}$ d'aprés la propriéte précédente.
Et donc $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}.\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$. - $(a\overrightarrow{u}).(b\overrightarrow{v})=(ax)(bx')+(ay)(by')$ $=ab(xx'+yy')$ $=ab(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$.
Théorème.
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a:
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.
- $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$
- $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$
- $(a\overrightarrow{u}).(b\overrightarrow{v})=ab(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}).$
Exemple.
On considère trois carrés de coté $a$. Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AH}$.
$\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AH}=(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}).(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH})$
Donc en utilisant les propriétés de bilinéarité du produit scalaire et des relations de Chasles, on a:
$(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}).(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH})$ $=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{BH}$- $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}=||\overrightarrow{AE}||\times||\overrightarrow{AB}||\times\cos(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB})$ $=2a\times a\times 1=2a^2$.
- $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BH}=||\overrightarrow{AE}||\times||\overrightarrow{BH}||\times\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$.
- $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{AB}=||\overrightarrow{EF}||\times||\overrightarrow{AB}||\times\cos(-\dfrac{\pi}{2})=0$.
- $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{BH}=||\overrightarrow{EF}||\times||\overrightarrow{BH}||\times\cos(\overrightarrow{EF},\overrightarrow{BH})$ $=a\times(2a)\times 1=2a^2$.
Produit scalaire, distance et orthogonalité.
Proposition.
- $\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=AB^2$.
- $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$.
- $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2=\overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2=\overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2$.
- Les deux premiéres formules sont évidentes.
- $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2$ $=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2$ $=(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}$ $=||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2$.
Produit scalaire et orthogonalité.
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls. Dire que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux signifie que, si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.\newline Par convention le vecteur $\overrightarrow{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
- Supposons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux, il y a trois ca possibles:
- $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
- $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
- $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{2}~~[\pi]$, donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$.
- Inversement supposons $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$, donc nous avons
$||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$, il y a aussi trois cas possibles:- $||\overrightarrow{u}||=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, donc par convention $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux.
- $||\overrightarrow{v}||=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, donc par convention $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux.
- $\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$ $\Rightarrow$ $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{2}~~[\pi]$,
donc les droite dirigée par les vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonales.
Donc les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
Théorème.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.- Dans un repère orthonormé $\mathcal{R}$, calculons $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$, avec $\overrightarrow{u}(2;-3)$ et $\overrightarrow{v}(2;-1)$.
Définition.
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan, le nombre réel égal à:
$\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]$ est appelé produit scalaire
des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on le note $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg].$
