Probabilité Conditionnelle.
Probabilité de l'événement B sachant que A est réalisé.
- On a: $0\leq P_{A}(B)\leq 1$ et $P_{A}(B)+P_{A}(\bar{B})=1$.
- Dans une situation d'équiprobabilité on a: $P_{A}(B)=\dfrac{nombre~~ d'~~élément~~de~~A\cap B}{nombre~~ d~~élément~~de~~A}$.
- Si $A$ et $B$ sont deux événement de probabilité non nulle, alors on a:
$P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=P(B)\times P_{B}(A)$. - On sait que $A\cap B\subset A$, donc $0\leq P(A\cap B)\leq 1$.
Or nous savons que $P(A)>0$, donc $0\leq\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\leq\dfrac{P(A)}{P(A)}=1$.
Donc $0\leq P_A(B)\leq 1$. - Pour tout $A$ et $B$, on a $(A\cap B)\cup (A\cap\bar{B})=A$ et $(A\cap B)\cap (A\cap\bar{B})=\emptyset$.
Donc $P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(A)$, puisque $P(A)\not=0$, on a $\dfrac{P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})}{P(A)}=\dfrac{P(A)}{P(A)}=1$.
Donc $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}+\dfrac{P(A\cap\bar{B})}{P(A)}=1$ $\Rightarrow$ $P_{A}(B)+P_{A}(\bar{B})=1$. - On note $Card(A)$ le nombre d'éléments élémentaires de l'événement de $A$.
On a $P(A\cap B)=\dfrac{card((A\cap B)}{Card(\Omega)}$ et $P(A)=\dfrac{Card(A)}{card(\Omega)}$.
Donc $P_{A}(B)=\dfrac{\dfrac{card((A\cap B)}{Card(\Omega)}}{\dfrac{Card(A)}{card(\Omega)}}$ $=\dfrac{Card(A\cap B)}{Card(A)}$. - Si $A$ et $B$ sont deux événement de probabilité non nulle, alors on a:
$P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ $\Leftrightarrow$ $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=P(B)\times P_{B}(A)$. Probabilités totales.
Théorème.
Si l'univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire est la réunion d'événements $A_1$, $A_2$,...,$A_n$, deux à deux incompatibles, alors pour tout événement $B$ on a:
$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+...+P(B\cap A_n)$ $=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+...+P(A_n)\times P_{A_n}(B)$.
Exemple.
Soit l'univers $\Omega$ qui est la réunion d'événements $A_1$, $A_2$,...,$A_n$, deux à deux incompatibles. c'est à dire que les événements $A_1$, $A_2$,...,$A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$.
On peut en déduire que:- $B=(B\cap A_1)\cup (B\cap A_2)\cup ...\cup (B\cap A_{n-1})\cup (B\cap A_n)$.
- Pour tout $i\not=j$ entier de $[1;n]$, on a $(B\cap A_i)\cap (B\cap A_j)$.
- Pour tout entier de $i\in[1;n]$, on a $A_i\not=\emptyset$.
Puisque $A_i\not=\emptyset$ on a $P(B\cap A_i)=P(A_i)\times P_{A_i}(B)$, donc:
$P(B)=P(A_1)\times P_{A_1}(B)+P(A_2)\times P_{A_2}(B)+...+P(A_n)\times P_{A_n}(B)$.
Exemple.
Ici Nous avons les événements $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers $\Omega$, c'est à dire:
- $\Omega=A\cup B\cup C$ ,
- $A\cap B=\emptyset$, $A\cap C=\emptyset$ et $B\cap C=\emptyset$.
On a: $P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap B)+P(D\cap C)$ $=P(A)\times P_A(D)+P(B)\times P_B(D)+P(C)\times P_C(D)$.
Utilisation d'un arbre.
- Loi des noeuds: La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1.
- La probabilité de l'événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
- Par exemple, on a $P(A\cap\bar{B})=P(A)\times P_A(\bar{B})$ $=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{7}{10}=\dfrac{21}{50}$.
- Par exemple, on a $P(\bar{A}\cap\bar{B})=P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(\bar{B})$ $=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{5}$.
- Calculons la probabilité totale $P(A)$.
$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$ $=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{7}{10}+\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{21}{50}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{31}{50}$. - L'égalité $P_{A}(B)+P_{A}(\bar{B})=1$, peut se généraliser.
Soit $B_1$, $B_2$,...,$B_p$ une partition de l'univers $\omega$, on a l'égalité plus générale:
$P_{noeud}(B_1)+P_{noeud}(B_2)+...+P_{noeud}(B_{p-1})+P_{noeud}(B_p)=1$.
Ce qui peut s'expliciter par la loi des noeuds: la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1. - L'égalité $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)$ permet d'expliciter que La probabilité de l'événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.
- Recopier et compléter l'arbre ci-contre.
- A l'aide de l'arbre, déterminer la valeur de $P(\bar{A})$ et de $P_{\bar{A}}(B)$.
- A l'aide de l'arbre, calculer $P(A\cap B)$ et $P(\bar{A}\cap B)$.
- Utiliser les résultats précédents et des formule des probabilités totales pour déterminer $P(B)$.
- $P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,6=0,4$.
$P_A(B)+P_{\bar{A}}(B)=1$, donc $P_{\bar{A}}(B)=1-P_A(B)=0,8$. - $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0,6\times 0,2=0,12$.
$P(\bar{A}\cap B)=P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)=0,4\times 0,7=0,28$. - $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)=0,12+0,28=0,40$.
Utilisation de tableaux à double entrée.
- Compléter le tableau de probabilités ci-contre.
- Déterminer les valeur de $P(B\cap D)$, $P(B)$ et $P(\bar{D})$.
- Calculer $P_B(D)$ et $P_{\bar{D}}(B)$.
- $P(B\cap D)=0,1$, $P(B)=0,25$ et $P(\bar{D})=0,6$.
- $P_B(D)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(B)}=\dfrac{0,1}{0,25}=0,4$ et $P_{\bar{D}}(B)=\dfrac{P(B\cap\bar{D})}{P(\bar{D})}=\dfrac{0,15}{0,6}=0,25$.
Indépendance de deux événements.
- Supposons que $A$ et $B$ soient deux événements indépendants. $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$, or $P_A(B)=P(B)$, donc $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
- Inversement, supposons que $A$ et $B$ soient deux événements, vérifiant l'égalité $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(A)\times P(B)}{P(A)}=P(B)$, donc $A$ et $B$ sont indépendants. - A="la carte tirée est un carreau".
- B="la carte tirée est un roi".
- C="la carte tirée est rouge".
- Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?
- Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants?
- Les événements $B$ et $C$ sont-ils indépendants?
- Nous savons que $A\cap B$ est l'événement "la carte tirée est un roi de carreau", donc $P(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$.
$P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{32}$, donc on a l'égalité $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
Donc les événements $A$ et $B$ sont indépendants. - Nous savons que $A\cap C$ est l'événement "la carte tirée est un carreau", donc $P(A\cap C)=P(A)=\dfrac{1}{4}$.
$P(A)\times P(C)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$, donc on a l'égalité $P(A\cap C)\not=P(A)\times P(C)$.
Donc les événements $A$ et $C$ ne sont pas indépendants. - Nous savons que $B\cap C$ est l'événement "la carte tirée est un roi rouge", donc $P(B\cap C)=\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{2}$.
$P(B)\times P(C)=\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$, donc on a l'égalité $P(B\cap C)=P(B)\times P(C)$.
Donc les événements $B$ et $C$ sont indépendants. - $\bar{A}$ et $B$,
- $A$ et $\bar{B}$,
- $\bar{A}$ et $\bar{B}$.
Définition.
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un même univers, supposons que $P(A)\not=0$.
La probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est realisé est le nombre noté $P_{A}(B)$, défini par $P_{A}(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
Propriétés.
Soit $A$ et $B$ deux évenements tels que $P(A)\not=0$; Alors:
Propriétés.
Exemple.
Exercice.
Les événements $A$ et $B$ vérifient $P(A)=0.6$, $P_A(B)=0.2$ et $P_{\bar{A}}(\bar{B})=0.3$.
| $A$ | $\bar{A}$ | TOTAL | |
| $B$ | $P(A\cap B)$ | $P(\bar{A}\cap B)$ | $P(B)$ |
| $\bar{B}$ | $P(A\cap \bar{B})$ | $P(\bar{A}\cap\bar{B})$ | $P(\bar{B})$ |
| TOTAL | $P(A)$ | $P(\bar{A})$ | $1$ |
| $A$ | $B$ | $C$ | TOTAL | |
| $D$ | $0,2$ | $0,1$ | ||
| $\bar{D}$ | $0,15$ | |||
| TOTAL | $0,45$ | $0,3$ |
Exercice.
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont des événements de l'ensemble des issus d'une expérience aléatoire.
Définition.
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers, si $P(A)\not=0$, on dit que $B$ est indépendant de A si on a: $P_{A}(B)=P(B)$ ou $P_{B}(A)=P(A)$.
Proposition.
Si $P(A)\not=0$ et $P(B)\not=0$ on a l'équivalence suivante:
$B$ est indépendant de A si et seulement si $A$ est indépendant de B.
Dire que deux événements sont indépendants signifie que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
Exercice.
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On considère les évenement suivant:
Le jeu contine huit carreaux, quatre rois et seize cartes rouges, comme nous sommes en équiprobabilité, on a donc: $P(A)=\dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{4}$, $P(B)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$ et $P(C)=\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}$.
On démontre cette propriété pour $\bar{A}$ et $B$. La démonstration pour les autre cas se faisant de la même façon!
On sait que $P(B\cap\bar{A})=P(B)\times P_B(\bar{A})$.
Comme $P_B(A)+P_B(\bar{A})=1$, on a $P_B(\bar{A})=1-P_B(A)$ $\Rightarrow$ $P(B\cap\bar{A})=P(B)\times(1-P_B(A))$.
Les événement $A$ et $B$ sont indépendants, donc $P_B(A)=P(A)$, donc $P(B\cap\bar{A})=P(B)\times (1-P(A))=P(B\times\bar{A})$.
Donc $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
Propriétés.
Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors il en est de même pour les évenements: