Ensembles de nombres.
Les entiers naturels, les entiers relatifs.
- L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble noté $\mathbb{N}=\{0; 1; 2; 3...\}$.
- L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble noté $\mathbb{Z}=\{...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...\}$.
- Un entier naturel distinct de $1$ $p\not=1$ est premier s'il admet exactement deux diviseurs (dans $\mathbb{N}$), 1 et lui-même.
- un entier distinct de 1 et non premier est dit composé.
- Par exemple $8$ n'est pas premier il est composé.
- Voici la liste des nombres premiers inférieur à 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
$100=4\times 25=2^2\times 5^2$.- $500=5\times 100=2^2\times 5^3$.
- $11000=13\times 1000=2^3\times 5^3\times 11$.
- $1755=27\times 5\times 13=3^3\times 5\times 13$.
Les nombres rationnels.
Un cas particulier: les nombres décimaux.
- $0,325=\dfrac{325}{1000}=\dfrac{325}{10^3}$.
- $1,3256=\dfrac{13256}{10000}=\dfrac{13256}{10^4}$.
- $0,00103=\dfrac{103}{100000}=\dfrac{103}{10^5}$.
- Nous avons l'inclusion suivante:$\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$.
- Un nombre est décimal si et seulement si, il peut s'écrire $\dfrac{a}{2^m\times 5^p}$ avec $a\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{N}$.
- Soit $x\in\mathbb{D}$, alors il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $p$, tel que $x=\dfrac{a}{10^p}$, donc $x$ possède une écriture fractionnaire, donc $x\in\mathbb{Q}$.
Conclusion: $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$. - Si $x\in\mathbb{D}$, alors il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $p$, tel que $x=\dfrac{a}{10^p}$.
Donc $x=\dfrac{a}{10^p}=\dfrac{a}{(2\times 5)^p}$ $=\dfrac{a}{2^p\times 5^p}$. - Inversement:
-
Supposons que $x$ peut s'écrire $\dfrac{a}{2^m\times 5^p}$ avec $a\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{N}$.
- Premier cas: $p=m$ on a $x=\dfrac{a}{2^m\times 5^p}=\dfrac{a}{2^p\times 5^p}$ $=\dfrac{a}{10^p}$, donc $x$ est décimal $(x\in\mathbb{D})$.
- Deuxième cas: $m>p$ on a $x=\dfrac{a}{2^m\times 5^p}=\dfrac{a}{2^{m-p}\times 2^p\times 5^p}$ $=\dfrac{a}{10^p}\times \dfrac{1}{2^{m-p}}$, donc $x$ est un nombre décimal $(x\in\mathbb{D})$.
- Deuxième cas: $m < p$ on a $x=\dfrac{a}{2^m\times 5^p}=\dfrac{a}{2^m\times 5^{p-m}\times 5^m}$ $=\dfrac{a}{10^m}\times \dfrac{1}{5^{p-m}}$, donc $x$ est un nombre décimal $(x\in\mathbb{D})$.
- Si $x\in\mathbb{D}$, alors il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $p$, tel que $x=\dfrac{a}{10^p}$.
Exemples de nombres rationnels, non décimal
Les nombres réels.
- A tout point d'une droite graduée est associée un unique nombre réel, son abscisse.
- Réciproquement, à tout nombre réel est associé un unique point d'une droite graduée.
Exemples de nombres réels, non rationnels.
- Supposons que le nombre $\sqrt{2}$ soit un nombre rationnel. Si c'est le cas,
il existe deux entiers relatifs $p$ et $q$, tel que $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ et on peut supposer que la fraction $\dfrac{p}{q}$ soit irréductible.
Donc nous avons $\sqrt{2}^2=\bigg(\dfrac{p}{q}\bigg)^2$ $\Leftrightarrow$ $2=\dfrac{p^2}{q^2}$ $\Leftrightarrow$ $2\times q^2=p^2$.
Donc le nombre le nombre $p^2$ est pair, nous savons donc que $p$ est pair (voir chapitre arithmétique), le nombre $p=2\times k$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
Donc $2q^2=(2k)^2=4k^2$ $\Leftrightarrow$ $q^2=2k^2$, donc $q^2$ est aussi pair, donc $q$ est pair.
Nous savons donc que les nombres $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, mais la fraction $\dfrac{p}{q}$ est irréductible, nous en sommes en présence d'une contradiction.
L'hypothèse selon laquelle $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel, conduit à une impossibilité, donc cette hypothèse est fausse. Donc $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$, $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel. - Supposons que le nombre $\sqrt{3}$ soit un nombre rationnel. Si c'est le cas,
il existe deux entiers relatifs $p$ et $q$, tel que $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$ et la fraction $\dfrac{p}{q}$ soit irréductible.
Donc nous avons $\sqrt{3}^2=\bigg(\dfrac{p}{q}\bigg)^2$ $\Leftrightarrow$ $3=\dfrac{p^2}{q^2}$ $\Leftrightarrow$ $3\times q^2=p^2$.
Le nombre $3$ divise donc $p^2$, le nombre $3$ divise donc $p$. On peut donc écrire que $p=3\times k$ où $k\in\mathbb{Z}$.
On a $3q^2=(3k)^2=9k^2$ $\Leftrightarrow$ $q^2=3k^2$, donc $q^2$ est aussi divisible par 3, or la fraction $\dfrac{p}{q}$ est irréductible, c'est donc impossible.
L'hypothèse selon laquelle $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel, conduit à une impossibilité, donc cette hypothèse est fausse. Donc $\sqrt{3}\not\in\mathbb{Q}$, $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel. - Par exemple le nombre $\sqrt{2}$ n'est un rationnel ($\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$).
- Par exemple le nombre $\sqrt{3}$ n'est un rationnel ($\sqrt{3}\not\in\mathbb{Q}$).
Définition.
Remarque: Il est clair que tout entier naturel est aussi un entier relatif. On dit que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$.
Définition (rappel).
Exemples.
Rechercher la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier naturel $N$.
Propriété (admise)
Tout nombre entier supérieur ou égal à deux se décompose en produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique(à l'ordre près des facteurs).
Exemples de décomposition.
Définition.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'une fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ deux entiers relatifs et $b\not=0$
($a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^\star$).
L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$.
Proposition.
Tout nombre rationnel non nul admet une seule écriture fractionnaire irréductible $\dfrac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}^\star$ c'est à dire $(b\not=0)$.
Dans ce cas l'entier $1$ est le seul diviseur commun à $p$ et $q$.
Définition.
Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire $\dfrac{a}{10^p}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$. L'ensemble des décimaux est noté $\mathbb{D}$.
Exemples.
Proposition.
Exemple.
Par exemple le nombre $\dfrac{1}{3}$ est un rationnel, mais n'est pas un décimal; ($\dfrac{1}{3}\in\mathbb{Q}$, mais $\dfrac{1}{3}\not\in\mathbb{D}$).
Nous savons que $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^p}$ $\Leftrightarrow$ $10^p=a\times 3$, donc $3$ divise $10^p$.
Or le nombre $10^p$ est un nombre qui n'est pas divisible par 3, donc il est impossible d'avoir l'égalité $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^p}$. Donc le nombre $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
La notion de nombre réel est difficile à expliquer en seconde, nous allons convenir pour l'instant de la définition suivante:
Définition.
Un nombre réel est un nombre qui ne peut pas se ranger dans l'ensemble des nombres rationnels.
Mais un nombre rationnel est un nombre réel. On a donc l'inclusion d'ensemble suivante $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Proposition.
Nous avons les inclusions suivantes: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Proposition.
