Fonctions affines, équations et inéquations produits.
Définition et représentation graphique.
- Le réel $a$ est le coefficient directeur de cette droite,
- Le réel $b$ est l'ordonnée à l'origine.
- $\mathcal{C}_1:f(x)=x+1$,
- $\mathcal{C}_2:g(x)=2$,
- $\mathcal{C}_3:h(x)=-3x-2$,
- $\mathcal{C}_4:k(x)=\dfrac{3}{4}x-3$.
Sens de variation d'une fonction affine.
- Si $a>0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$,
- Si $a < 0$, $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$,
- Si $a=0$, $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
- Cas n°1 $a>0$: $a>0$ et $x_1-x_0>0$ donc $a\times(x_1-x_0)>0$ donc $f(x_1)-f(x_0)>0$.
La fonction $f$ est dont strictement croissante sur $\mathbb{R}$ - Cas n°2 $a < 0$: $a>0$ et $x_1-x_0>0$ donc $a\times(x_1-x_0) < 0$ donc $f(x_1)-f(x_0) < 0$.
La fonction $f$ est dont strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ - Cas n°2 $a < 0$: $a=0$ , donc $a\times(x_1-x_0)=0$ donc $f(x_1)-f(x_0)=0$.
La fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ Signe d'une fonction affine.
Suivant le signe du coefficient directeur $a\not=0$, on obtient les tableaux de signes suivants :
Si $a>0$, nous avons le tableau se signes suivant:
x $-\infty$ $\dfrac{-b}{a}$ $-\infty$ $ax+b$ - 0 + Si $a < 0$, nous avons le tableau se signes suivant:
x $-\infty$ $\dfrac{-b}{a}$ $-\infty$ ax+b + 0 - Signe d'un produit de fonctions affines.
- f(x)=
- f(x)=
Exemple d'inéquation produit.
- $(2x-1)^2 < (2x-1)(x-4)$ $\Leftrightarrow$ $(2x-1)^2-(2x-1)(x-4) < 0$ $\Leftrightarrow$ $(2x-1)[(2x-1)-(x-4)] < 0$ $\Leftrightarrow$ $(2x-1)(x+3) < 0$
- Construisons le tableau de signes de $(2x-1)(x+3)$.
$2x-1=0$ $\Longleftrightarrow$ $x=\dfrac{1}{2}$
$x+3=0$ $\Longleftrightarrow$ $x=-3$
$x$ $-\infty$ $-3$ $\dfrac{1}{2}$ $+\infty$ $2x-1$ - | 1 0 + $x+3$ - 0 + | + $(2x-1)(x+3)$ + 0 - 0 + - Conclusion:
On cherche les signes (-) dans la dernière ligne d'où :$\mathcal{S}=\left]-3\;;\;\dfrac{1}{2}\right[$
Signe d'un quotient de fonctions affines.
- f(x)=
- f(x)=
Exemple d'inéquation quotient.
Définition.
$a$ et $b$ sont deux réels donnés.La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ est appelée fonction affine, elle est représentée par une droite où
Remarque:
Contrairement à n'importe quelle fonction, pour tracer la courbe représentative de $f$ une fonction affine, il suffit de donner deux points de cette courbe repréentative que l'on place dans le repère et de les relier à la règle.
Tracer une droite de la forme y=ax+b.
Compléter à votre convenance le tableau de valeurs associé à la droite donnée, puis tracer là avec précision dans le repère orthonormé correspondants.
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Propriéte.
$f(x_1)-f(x_0)=[ax_1+b]-[bx_0+b]$=$a\times(x_1-x_0)$, nous savons que $x_1-x_0>0$, donc le signe de $f(x_1)-f(x_0)$ dépend de celui de $a$.
Corrections.
Exercices.
Donner le tableau de signe de la fonction f(x) dans les cas suivant:Exercice.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(2x-1)^2 <(2x-1)(x-4)$ :Corrections.
Résoudre les inéquations produits suivantes:
Corrections.
Exercices.
Donner le tableau de signe de la fonction f(x) dans les cas suivant:Exercice.
On souhaite par exemple résoudre l'inéquation $\dfrac{-2x+4}{x+3} \geq 0$.
La seule différence avec l'inéquation produit, c'est qu'il faut faire attention à la valeur interdite : la valeur pour laquelle le dénominateur est nul.
Dans le tableau de signes, cela se traduit par une double barre au niveau des valeurs interdites.
| $x$ | $-\infty$ | $-3$ | $2$ | $+\infty$ | |
| $-2x+4$ | + | | | + | 0 | - |
| $x+3$ | - | 0 | + | | | + |
| $\dfrac{-2x+4}{x+3}$ | - | || | + | 0 | - |
$x+3=0$ $\Longleftrightarrow$ $x=-3$
Enfin, on résout l'inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solutions positives ou nulles $\mathcal{S}=~]\;3\;;\;2\;].$