Théorème.

• La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
• Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Remarque:

Les deux assertions sont équivalentes, la deuxième est la traduction mathématique de la premiére.

Démontrons l'assertion: Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
Montrons que si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$. Supposons que $\sqrt{a}+\sqrt{b}=0$ comme $\sqrt{a}\geq 0$ et $\sqrt{b}\geq 0$ la seule possibilité est que nous ayons $\sqrt{a}=\sqrt{b}=0$, donc $a=b=0$, or $a < b$, c'est donc impossible. L'hypothèse est donc fausse, mais $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 0$.
Conclusion $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.
Nous savons que $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ $\Rightarrow$ $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$. Nous avons $\Bigg\{ \begin{array}[pos]{c} a-b < 0\\ \sqrt{a}+\sqrt{b}>0\\ \end{array}. $ $\Rightarrow$ $\sqrt{a}-\sqrt{b} < 0$, donc $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Nous venons donc de démontrer que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

• Si $a\geq 0$:
  • Si $\sqrt{x}=a$ alors $\sqrt{a}^2=a^2$, donc $x=a^2$
  • Réciproquement si $x=a^2$ alors $\sqrt{x}=\sqrt{a^2}=|a|=a$, car $a\geq 0$.
• Si $a < 0$, nous savons que pour tout $x\in\mathbb{R}$ on $\sqrt{x}\geq 0$, un nombre strictement négatif ne peut pas être égal à un nombre positif. Donc il n'existe pas de solution, on écrit cela $\mathcal{S}=\emptyset$.

• $\sqrt{x}=7$. $\Leftrightarrow$ $x=7^2=49$.
• $2\sqrt{x}+1=0$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{x}=\dfrac{-1}{2}$, ce qui est impossible, puisque $\sqrt{x}\geq 0$.
  Il n'existe pas de solution pour cette équation.
• $3\sqrt{x}-2=0$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{x}=\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow$ $x=(\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$.
• $(\sqrt{x}-5)(2\sqrt{x}-3)=0$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{x}=5$ ou $\sqrt{x}=\dfrac{3}{2}$ $\Leftrightarrow$ $x=25$ ou $x=(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$.

Exercices.

• $\sqrt{x}=7$.
• $2\sqrt{x}+1=0$.
• $3\sqrt{x}-2=0$.
• $(\sqrt{x}-5)(3\sqrt{x}-2)=0$.

Exemples.

• $A=(2-\sqrt{5})^2=2^2-2\times 2\times\sqrt{5}+\sqrt{5}^2=4-4\sqrt{5}+5=9-4\sqrt{5}.$
• $A=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=\sqrt{2}^2-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{5}+\sqrt{5}^2=2-2\sqrt{10}+5=7-2\sqrt{10}.$

Exercice.

• Développer $(1-\sqrt{3})^2=$.
• Quel est le signe de $1-\sqrt{3}$?
• En déduire une expression de $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ avec un seul radical.

• Nous avons: $(1-\sqrt{3})^2$ $=1^2-2\times 1\times\sqrt{3}+\sqrt{3}^2$ $=4-2\sqrt{3}$.
• Nous avons: $1-\sqrt{3} < 0$.
• Le nombre réel $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ est la solution positive de l'équation $X^2=4-2\sqrt{3}$.
  Nous savons que $(1-\sqrt{3})^2$ $=(\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3}$, puisque $\sqrt{3}-1>0$, nous avons l'égalité $\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$.

• $(2\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ $=(2\sqrt{a})^2+2\times2\sqrt{a}\times\sqrt{b}+\sqrt{b}^2$ $=4a+4\sqrt{a}\sqrt{b}+b$ $=4a+b+4\sqrt{ab}$.
• $(\sqrt{2a}-\sqrt{2b})^2$ $=(\sqrt{2a})^2-2\times\sqrt{2a}\times\sqrt{2b}+\sqrt{2b}^2$ $=2a-2\sqrt{4ab}+2b$ $=2a+2b-2\times2\sqrt{ab}$ $=2a+2b-2\times 2\times\sqrt{ab}$ $=2a+2b-4\sqrt{ab}$.
• $(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})$ $=(2\sqrt{a})^2-(3\sqrt{b})^2$ $=4a-9b$.

Exercice.

On considère deux réels positifs quelconques $a$ et $b$. Développer les expressions suivantes.

• $(2\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$.
• $(\sqrt{2a}-\sqrt{2b})^2$.
• $(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})(2\sqrt{a}-3\sqrt{b})$.

Supposons que le nombre réel $b-c\sqrt{d}$ soit non nul.
$A=\dfrac{a}{b+c\sqrt{d}}$ $=\dfrac{a\times(b-c\sqrt{d})}{(b+c\sqrt{d})(b-c\sqrt{d})}$ $=\dfrac{ab-ac\sqrt{d}}{b^2-(c\sqrt{d})^2}$ $=\dfrac{ab-ac\sqrt{d}}{b^2-c^2d}$.
La fraction $\dfrac{ab-ac\sqrt{d}}{b^2-c^2d}$ est une fraction dont le dénominateur appartient au rationnels. En effet
$a$, $b$, $c$, $d$ des nombres quelconques appartenant à $\mathbb{Q}$ avec $d>0$ et $b+c\sqrt{d}\not=0$, donc le nombre $b^2-c^2d\in\mathbb{Q}$.

Théorème.

Soit $a$, $b$, $c$, $d$ des nombres quelconques appartenant à $\mathbb{Q}$ avec $d>0$ et $b+c\sqrt{d}\not=0$.
Soit $A=\dfrac{a}{b+c\sqrt{d}}$, pour écrire A avec un dénominateur rationnel, on multiplie numérateur et dénominateur par $b-c\sqrt{d}$, en ayant préalablement démontré que $b-c\sqrt{d}$ est un réel non nul.

Exemple.

• $\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$ $=\dfrac{1\times(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})\times(2-\sqrt{3})}$ $=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-\sqrt{3}^2}$ $=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}$ $=2-\sqrt{3}$.
• $\dfrac{\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}$ $=\dfrac{\sqrt{5}\times(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}$ $=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{15}}{1^2-\sqrt{3}^2)}$ $=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{15}}{-2}$ $=-\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{15}}{2}$.