Définition.

On appelle fonction carré la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et qui à un réel $x$ associe le nombre réel $x^2$. On note alors $f(x)=x^2$ ou bien $x\to x^2.$

Egalités remarquables.

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
• $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

• $(a+b)^2=(a+b)\times (a+b)$ $=a\times a+a\times b+b\times a+ b\times b$ $=a^2+ab+ba+b^2$ $=a^2+2ab+b^2$.
• $(a-b)^2=(a-b)\times (a-b)$ $=a\times a-a\times b-b\times a+ b\times b$ $=a^2-ab-ba+b^2$ $=a^2-2ab+b^2$.
• $(a-b)(a+b)$ $=a\times a+a\times b-b\times a-b\times b$ $=a^2-b^2$

Théorème.

L'équation $x^2=a$ possède :

• deux solutions si $a>0$ : $\mathcal{S}=\{-\sqrt{a};\sqrt{a}\}$ ,
• une solution si $a=0$, on a $\mathcal{S}=\{0\}$ ,
• aucune solution si $a < 0$, on a $\mathcal{S}=\emptyset$.

• Si $a < 0$, nous savons que pour tout $x\in\mathbb{R}$ on $x^2\geq 0$, donc il n'existe pas de solution, on écrit cela $\mathcal{S}=\emptyset$.
• si $a>0$ on sait que $a=(\sqrt{a})^2$. On a donc : $x^2=a$ $\Leftrightarrow$ $x^2-a=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2-(\sqrt{a})^2=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0$ $ \Leftrightarrow$ $x-\sqrt{a}=0$ ou $x+\sqrt{a}=0$ $ \Leftrightarrow$ $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$
• Si $a=0$ on a: $x^2=0$ $\Leftrightarrow$ $x\times x=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ ou $x=0.$ Donc $x=0$ est la solution de l'équation.

• Nous avons l'équivalence suivante: La fonction carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ $\Leftrightarrow$ Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $a^2 < b^2$.
  Montrons donc l'assertion: Si $a$ et $b\in[0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $a^2 < b^2$.
  $a^2-b^2=(a-b)\times(a+b)$, comme $a\geq 0$ et $b\geq 0$ et $a < b$ le nombre $(a+b)>0$. En effet si $a+b=0$ veut dire que $a=b=0$ ce qui est impossible puisque $a < b$. De plus $a-b < 0$ puisque $a < b$. Donc le produit $(a-b)\times(a+b)$ est stictement négatif.
  $(a-b)\times(a+b) < 0$ $\Leftrightarrow$ $a^2-b^2 < 0$ $\Leftrightarrow$ $a^2 < b^2$.
• Nous avons l'équivalence suivante: La fonction carrée est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ $\Leftrightarrow$ Si $a$ et $b\in]-\infty;0]$ avec $a < b$ alors $a^2>b^2$.
  Montrons donc l'assertion: Si $a$ et $b\in]-\infty;0]$ avec $a < b$ alors $a^2>b^2$.
  $a^2-b^2=(a-b)\times(a+b)$, comme $a\leq 0$ et $b\leq 0$ et $a < b$ le nombre $(a+b) < 0$. En effet si $a+b=0$ veut dire que $a=b=0$ ce qui est impossible puisque $a < b$. De plus $a-b < 0$ puisque $a < b$. Donc le produit $(a-b)\times(a+b)$ est stictement positif.
  $(a-b)\times(a+b) > 0$ $\Leftrightarrow$ $a^2-b^2 >0$ $\Leftrightarrow$ $a^2 > b^2$.