Définitions.

On considère une série statistique à caractère quantitatif, dont les $p$ valeurs sont données par:
$x_1$, $x_2$,..., $x_p$ d'effectifs associés $n_1$, $n_2$,..., $n_p$ avec $n_1+n_2+...+n_p=N$.

• A chaque valeur (ou classe) est associée une fréquence $f_i$: c'est la proportion d'individus associés à cette valeur.
• $f_i=\dfrac{n_i}{N}$ est un nombre compris entre $0$ et $1$, que l'on peut écrire sous forme de pourcentage $F_i=\dfrac{n_i}{N}\times 100\%$.
• L'ensemble des fréquences de toutes les valeurs du caractère s'appelle distribution des fréquences de la série statistique.

Moyenne.

• Moyenne d'une série statistique discrête.

  Soit une série statistique à caractère quantitatif discret, dont les $p$ valeurs sont données par $x_1$, $x_2$,..., $x_p$ d'effectifs associés $n_1$, $n_2$,..., $n_p$ avec $n_1+n_2+...+n_p=N$.

  
  La moyenne pondérée de cette série est le nombre noté $\overline{x}$ qui vaut:
  $\overline{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}{n_ix_i}$.

  Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeurs $x_i$ le centre de chaque classe; ce centre est obtenu en faisant la moyenne des deux extrémités de la classe.

• Moyenne d'une série statistique continue.

  Soit la série statistique suivante:
  

  Classes du caractère	$[a_0;a_1[$	$[a_1;a_2[$	$[a_2;a_3[$	...	$[a_{p-1};a_p]$
  Effectifs	$n_1$	$n_2$	$n_3$	...	$n_p$
  Centre des classes	$c_1$	$c_2$	$c_3$	...	$c_p$

  La moyenne de cette série statistique est le nombre noté $\overline{x}$ défini par:

  $\overline{x}=\dfrac{n_1c_1+n_2c_2+n_3c_3+...+n_pc_p}{n_1+n_2+n_3+...+n_p}$. Où chaque centre des classes $c_i$ est égal à $\dfrac{a_{i-1}+a_i}{2}$.

Propriétés de la moyenne.

• Si on ajoute (ou soustrait)} un même nombre $k$ à toutes les valeurs d'une série,
  alors la moyenne de cette série se trouve augmentée (resp. diminuée) de $k$.
• Si on multiplie (ou divise)} par un même nombre non nul {$k$ toutes les valeurs d'une série,
  alors la moyenne de cette série se trouve multipliée (resp. divisée) par $k$.

Voir la démonstration. Retour au cours

• Posons la moyenne $m=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}$.
  On a $\dfrac{n_1(x_1+k)+n_2(x_2+k)+...+n_p(x_p+k)}{n_1+n_2+...+n_p}$ $=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}$ $+\dfrac{n_1k+n_2k+...+n_pk}{n_1+n_2+...+n_p}$ $=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}$ $+k\times\dfrac{n_1+n_2+...+n_p}{n_1+n_2+...+n_p}$ $=m+k$
• Posons la moyenne $m=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}$.
  On a $\dfrac{n_1(k\times x_1)+n_2(k\times x_2)+...+n_p(k\times x_p)}{n_1+n_2+...+n_p}$ $=k\times\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+...+n_px_p}{n_1+n_2+...+n_p}$ $=k\times m$

Définition.

Soit une série statistique ordonnée dont les $n$ valeurs sont $x_1\leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant \dots \leqslant x_n$.
La médiane est un nombre $M$ qui permet de diviser cette série en deux sous-groupes de même effectif.

• Si $n$ est impair, $n$ est la valeur de cette série qui est située au milieu, à savoir la valeur dont le rang est $\dfrac{n+1}{2}$, notée $x_{\frac{n+1}{2}}$.
• Si $n$ est pair, $n$ est le centre l'intervalle médian, qui est l'intervalle formé par les deux nombres situés "au milieu" de la série, à savoir $x_{\frac{n}{2}}$ et $x_{\frac{n}{2}+1}$.

Exemples.

• La médiane de la série $2;5;6;$$8$$;9;9;10$ est $8$.
• La médiane de la série $2;5;$$6;8$$;9;9$ est $7$.
• La médiane de la série $2;5;$$6;6$$;9;10$ est $6$.

Définitions.

Le premier quartile et le troisiéme quartile de la série statistique $(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$ sont les nombres que l'on note souvent $Q_1$ et $Q_3$ définis de la façon suivante:

• On range les valeurs de la série statistique par ordre croissant, chaque nombre figurant le nombre de fois égal à son effectif.
• Le nombre $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25$\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.
• Le nombre $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75$\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.
• L'intervalle $[Q_1;Q_3]$ est appelé intervalle interquartile. Le nombre $Q_3-Q_1$ est appelé écart interquartile.

Définition.

Soit la série statistique suivante:

Valeur du caractére	$x_1$	$x_2$	$x_3$	...	$x_p$
Effectifs	$n_1$	$n_2$	$n_3$	...	$n_p$
Fréquences	$f_1$	$f_2$	$f_3$	...	$f_p$

On a $N=n_1+n_2+...+n_p$ et pour tout $i\in\mathbb{N}$, $1\leq i\leq p$, on a $f_i=\dfrac{n_i}{N}$.
La Variance de cette série statistique est le nombre noté $V$ ou $V(x)$ est défini par: $V=\dfrac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+n_3(x_3-\overline{x})^2+...+n_p(x_p-\overline{x})^2}{n_1+n_2+n_3+...+n_p}$ $=\displaystyle\Sigma_{i=1}^{p}f_i(x_i-\bar{x})^2$.

Afin de mesurer la dispersion d'une série statistique avec la même unité que les valeurs de la série, on définit l'écart type de la série par $\sigma=\sqrt{V}$.

Exemples.

Calculer sans le mode statistiques de la calculatrice, l'écart type des série statistiques suivantes.

• -4;0;5;-1;7;2;-2;3;1;0;-3;4
  

  $\bar{x}=\dfrac{-4+0+5+(-1)+7+2+(-2)+3+1+0+(-3)+4}{12}=1$.
  $V(x)=\dfrac{(-4-1)^2+(0-1)^2+(5-1)^2+(7-1)^2+(2-1)^2+(-2-1)^2+(3-1)^2+(1-1)^2+(0-1)^2+(-3-1)^2+(4-1)^2}{12}$.
  $\sigma_X=\sqrt{V(x)}\approx 3,2$.

• Valeurs	1	3	4	5	10	13
  Effectifs	2	3	1	4	5	5

  $\bar{x}=\dfrac{2\times1+3\times 3+1\times 4+4\times 5+5\times 10+5\times 13}{2+3+1+4+5+5}=7,5$.
  $V(X)=\sqrt{\dfrac{2\times (1-7.5)^2+3\times (3-7.5)^2+1\times (4-7.5)^2+4\times (5-7.5)^2+5\times(10-7.5)^2+5\times (13-7.5)^2}{2+3+1+4+5+5}}$.
  $\sigma_X=\sqrt{V(X)}\approx 4,3$.