La fonction racine inverse $x\mapsto\dfrac{1}{x}$.
Définition de la fonction inverse.
- Résoudre $f(x)=5$, $f(x)=-2$, $f(x)=0,001$.
- Déterminer l'antécédent par $f$ de 0,01$.
- $f(x)=5$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{x}=5$ $\Leftrightarrow$ $1=5x$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{1}{5}$.
- $f(x)=-2$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{x}=-2$ $\Leftrightarrow$ $1=-2x$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$.
- $f(x)=0,001$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{x}=0,001$ $\Leftrightarrow$ $1=0,001\times x$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{1}{0,001}=1000$.
- L'antécédent de 0,001 par $f$ vérifie l'équation $f(x)=\dfrac{1}{x}=0,01$.
$\dfrac{1}{x}=0,01$ $\Leftrightarrow$ $1=0,01\times x$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{1}{0,01}=100$. Propriétés de la fonction inverse.
- Supposons $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$, donc $a < 0$, $b < 0$ et donc nous avons $ab>0$ et $b-a>0$.
Donc nous avons $\dfrac{b-a}{ab}>0$, ce qui implique $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Nous avons donc démontré que : Si $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Ce qui est équivalent à dire La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$. - Supposons $a\in]0;+\infty[$ et $b\in]0;+\infty[$ avec $a < b$ donc $a>0$, $b>0$ et donc nous avons $ab>0$ et $b-a>0$.
Donc nous avons $\dfrac{b-a}{ab}>0$, ce qui implique $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Nous avons donc démontré que : Si $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
Ce qui est équivalent à dire La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$. - La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
- Si $a\in]-\infty;0[$ et $b\in]-\infty;0[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
- La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
- Si $a\in]0;+\infty[$ et $b\in]0;+\infty[$ avec $a < b$ alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.
- Ranger les images par la fonction inverse des nombres suivant: $ 1,1< 1,6 < x < 2 < 2,2$.
Correction:Tous les nombres appartiennent à l'intervalle $]0;+\infty[$ et nous savons que la fonction $x\to\displaystyle\frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
Donc on a: $\dfrac{1}{1,1}> \dfrac{1}{1,6}> \dfrac{1}{x}> \dfrac{1}{2}> \dfrac{1}{2,2}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{2,2}< \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{x} <\dfrac{1}{1,6} < \dfrac{1}{1,1}$. - Ranger les images par la fonction inverse des nombres suivant: $ -5,1< -4,6 < x < -2 < -1,2$.
Correction:Tous les nombres appartiennent à l'intervalle $]-\infty;0[$ et nous savons que la fonction $x\to\displaystyle\frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$.
Donc on a: $\dfrac{1}{-5,6}> \dfrac{1}{-4,6}> \dfrac{1}{x}> \dfrac{1}{-2}> \dfrac{1}{-1,2}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{-1,2}< \dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{x} <\dfrac{1}{-4,,6} < \dfrac{1}{-5,6}$. Propriétés géométrique de la fonction inverse.
- Soit $M(x;y)\in\mathcal{C}_f$ on a donc l'égalité $y=\dfrac{1}{x}$, donc $M(x;\dfrac{1}{x})$ appartient à la courbe représentative de la fonction inverse.
Soit $M'$ le symétique de $M$ par rapport à $O$ le centre du repère. Nous avons donc la relation vectorielle $\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{OM'}$.
Posons $M'(x';y')$ les coordonnées du point $M'$, nous avons $\overrightarrow{OM'}=\begin{pmatrix}x_{M'}-x_O\\y_{M'}-y_O\\ \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}x'\\y'\\ \end{pmatrix}$.
De l'égalité vectorielle $\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{OM'}$, nous déduisons que $x'=-x$ et $y'=-\dfrac{1}{x}$.
Donc $y'=\dfrac{1}{-x}=\dfrac{1}{x'}$, donc $M'$ le symétrique de $M$ par rapport à l'origine du repère $O$ appartient à $\mathcal{C}_f$. - Si on pose $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}$.
De plus pour tout $x\in\mathcal{D}_f=\mathbb{R}^\star$, on a $-x\in\mathcal{D}_f=\mathbb{R}^\star$. Donc $f$ est une fonction impaire. - La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère. La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole.
- La fonction inverse est impaire
Définition.
On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}-\{0\}$ et qui à un réel $x\not=0$ associe le nombre réel $\displaystyle\frac{1}{x}$. On note alors $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ ou bien $x\to\displaystyle\frac{1}{x}$.
Exercice.
Soit $f$ la fonc tion définie sur $\mathbb{R}^\star$, par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.Variations et représentation graphique.
nous avons la relation $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$ $=\dfrac{b-a}{ab}$ pour tout $a\not=0$ et $b\not=0$.
Théorème.
Remarque.
Il ne faut pas surtout croire que la fonction inverse est croissante sur $\mathbb{R}^\star$. En effet par exemple $-1 < 1$ et $\dfrac{1}{-1}=-1 < \dfrac{1}{1}=1$, ce qui ne serait pas le cas si la fonction inverse était croissante sur $\mathbb{R}^\star$.
Exemples.
Propriété.
