Calcul dans $\mathbb{R}$ .

Calcul sur les nombres en écriture fractionnaire.

Nous avons les égalités suivantes. On suppose que tous les dénominateurs sont non nuls.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ $\Leftrightarrow$ $a\times d=b\times c$ et avec $b,d\not=0$
$\dfrac{a\times c}{b\times c}=\dfrac{a}{b}$ avec $b,c\not=0$
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}$ avec $b\not=0$
$\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$ avec $b,d\not=0$
$\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg):\bigg(\dfrac{c}{d}\bigg)$ $=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}$ avec $b,c,d\not=0$
$\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}$ avec $a,b\not=0$ .

pour tout réels $a$ et $b$ non nuls; pour tout entiers relatifs $n$ et $p$ .
Nous avons les égalités suivantes.

Soient deux réels $a$ et $b$ positifs ( $a\geq 0$ , $b\geq 0$ ).

$\dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{11}$ $\Leftrightarrow$ $11\times x=3\times 5$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{15}{11}$ .
$\dfrac{2x+1}{2}=\dfrac{x}{3}$ $\Leftrightarrow$ $(2x+1)\times 3=2\times x$ $\Leftrightarrow$ $6x+3=2x$ $\Leftrightarrow$ $4x=-3$ $\Leftrightarrow$ $x=-\dfrac{3}{4}$ .

$x\not=0$ on a: $\dfrac{3\times x\times7\times 5}{3\times x\times 7}$ $=\dfrac{5}{1}=5$ .
$\dfrac{2\times 22\times 9\times 25}{4\times 11\times 27\times 5}$ $=\dfrac{2\times 2\times 11\times 3\times 3\times 5\times 5}{2\times 2\times 11\times 3\times 3\times 3\times 5}$ $=\dfrac{5}{3}$ .

$\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{11}$ $=\dfrac{3\times 11}{5\times 11}+\dfrac{2\times 5}{11\times 5}$ $=\dfrac{33+10}{55}$ $\dfrac{43}{55}$ .
$\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{3}$ $=\dfrac{x\times 3}{5\times 3}+\dfrac{y\times 5}{3\times 5}$ $=\dfrac{3x+5y}{15}$ .

$\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{11}$

$=\dfrac{3\times 2}{5\times 11}$

$=\dfrac{6}{55}$ .

$\dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{11}}$

$=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{11}{2}$

$=\dfrac{3\times 11}{5\times 2}$

$=\dfrac{33}{10}$

$\dfrac{3^5}{3^{-2}}=3^{(5-(-2))}=3^7$ .
Soit $x\not=0$ , $\dfrac{x^2\times x^3}{x^{10}}=\dfrac{x^5}{x^{10}}$ $=x^{(5-10)}=x^{-5}$ .

$\sqrt{14}=\sqrt{2\times 7}=\sqrt{2}\times\sqrt{7}$ .
$\sqrt{2}\times\sqrt{5}\times\sqrt{10}=\sqrt{2\times 5\times 10}=\sqrt{100}=10$ .

$\sqrt{3}^4=\sqrt{3^4}$ , on peut aussi dire que $\sqrt{3}^4=\bigg(\sqrt{3}^2\bigg)^2=3^2=9$ .
$\sqrt{2^5}=\bigg(\sqrt{2}\bigg)^5$ , on peut aussi dire que $\bigg(\sqrt{2}\bigg)^5=\bigg(\sqrt{2}\bigg)^4\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ .