Fonction cube: $x\to x^3$.
Etude de la fonction cube.
- $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $=a\times a^2+a\times ab+a\times b^2-b\times a^2-b\times ab-b\times b^2$ $=a^3+a^2b+ab^2-ba^2-ab^2-b^3$ $=a^3-b^3$.
- En remplaçant la lettre b par $(-b)$, nous obtenons la relation: $a^3-(-b)^3=a^3+b^3$ $=(a+(-b))(a^2+a(-b)+(-b)^2)$ $=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
- $(a+b)^3=(a+b)^2\times(a+b)$ $=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$ $=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+b^2a+b^3$ $=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
- En remplaçant la lettre b par $(-b)$, nous obtenons la relation: $(a-b)^3=(a+(-b))^3$ $=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3$ $=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
- Pour tout réels $a$ et $b$ on a la relation $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
- La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- $a < b$ $\Rightarrow$ $a^3 < b^3$.
Résolution de l'équation $x^3=a$, avec $a\in\mathbb{R}$.
Théoréme (ADMIS en seconde).
$x^3=a$ avec $a\in\mathbb{R}$ posséde une unique solution que l'on appelle la racine cubique de $a$. la racine cubique de $a$ se note $\sqrt[3]{a}$. On a: $x^3=a\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{a}.$
Prorpriétés de la racine cubique (admises en seconde).
- Pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$ on a: $\sqrt[3]{a\times b}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$.
- Pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}^\star$ on a: $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$.
- Nous savons d'aprés la définition de la racine cubique que le nombre réel $\sqrt[3]{a\times b}$ est l'unique solution de l'équation $X^3=a\times b$.
Calculons $\Bigg(\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}\Bigg)^3$ $=(\sqrt[3]{a})^3\times(\sqrt[3]{b})^3$ $=a\times b$. Donc le nombre $\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$ est aussi une solution de l'équation $X^3=a\times b$.
Puisque la solution est unique nous avons donc $\sqrt[3]{a\times b}=\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{b}$. - De même, nous savons d'aprés la définition de la racine cubique que le nombre réel $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}$ est l'unique solution de l'équation $X^3=\dfrac{a}{b}$.
Calculons $\Bigg(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\Bigg)^3$ $=\dfrac{(\sqrt[3]{a})^3}{\sqrt[3]{b})^3}$ $=\dfrac{a}{b}$. Donc $\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ est aussi une solution de l'équation $X^3=\dfrac{a}{b}$.
Puisque la solution est unique nous avons donc $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$.
Corrections.
- ${x}^3=7$ $\Leftrightarrow$ $x=\sqrt[3]{7}$.
- $2{x}^3+1=0$ $\Leftrightarrow$ $x^3=-\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$ $x=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$.
- $3x^3-2=0$ $\Leftrightarrow$ $x^3=\dfrac{2}{3}$ $\Leftrightarrow$ $x=\sqrt[3]{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$.
Exercice.
Dans chaque cas résoudre les équations suivantes:
- ${x}^3=7$.
- $2{x}^3+1=0$.
- $3x^3-2=0$.
Définition.
On appelle fonction cube la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et qui à un réel $x$ associe le nombre réel $x^3=x\times x\times x$. On note alors $f(x)=x^3$ ou bien $x\to x^3.$
Propriétés.
Courbe représentative de la fonction cube.
Croissance de la fonction cube.
Montrons que si $a < b$ alors $a^3 < b^3$.
on sait que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
vérifions que $a^2+ab+b^2=(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2$.
$(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2$ $=(\dfrac{1}{4}a^2+2\times\dfrac{1}{2}a\times b+b^2)+\dfrac{3}{4}a^2$ $=a^2+ab+b^2$. Montrons que le nombre réel $a^2+ab+b^2$ est strictement positif pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$.
$a^2+ab+b^2=(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$ puisque $(\dfrac{1}{2}a+b)^2\geq 0$ et $\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$.Supposons que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2=0$ la seule possibilité pour cela soit vraie est que $\dfrac{3}{4}a^2=0$ et $(\dfrac{1}{2}a+b)^2=0$.
Donc $a=0$ et $\dfrac{1}{2}a+b=0$, donc $b=0$ aussi, donc $a=b=0$, mais nous savons que $a < b$, cela est donc impossible.
Nous avons donc montré que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\not=0$.
De plus nous savons que $(a-b) < 0$ car $a < b$, donc le produit $(a-b)(a^2+ab+b^2) < 0$ donc $a^3-b^3 < 0$.
Nous venons donc de montrer l'assertion $a < b$ $\Rightarrow$ $a^3 < b^3$.
La fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
$(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2$ $=(\dfrac{1}{4}a^2+2\times\dfrac{1}{2}a\times b+b^2)+\dfrac{3}{4}a^2$ $=a^2+ab+b^2$. Montrons que le nombre réel $a^2+ab+b^2$ est strictement positif pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$.
$a^2+ab+b^2=(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$ puisque $(\dfrac{1}{2}a+b)^2\geq 0$ et $\dfrac{3}{4}a^2\geq 0$.Supposons que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2=0$ la seule possibilité pour cela soit vraie est que $\dfrac{3}{4}a^2=0$ et $(\dfrac{1}{2}a+b)^2=0$.
Donc $a=0$ et $\dfrac{1}{2}a+b=0$, donc $b=0$ aussi, donc $a=b=0$, mais nous savons que $a < b$, cela est donc impossible.
Nous avons donc montré que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\not=0$.
Remarque
Nous venons ici de faire un raisonnement couramment utilisé en mathématique, c'est le raisonnement par l'absurde. Quand on ne peut pas démontrer une assertion directement, on suppose le contraire et on montre que cela est impossible. C'est bien ce nous avons fait ici pour démontrer que $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2\not=0$.
Conclusion: pout tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$ $(\dfrac{1}{2}a+b)^2+\dfrac{3}{4}a^2>0$.De plus nous savons que $(a-b) < 0$ car $a < b$, donc le produit $(a-b)(a^2+ab+b^2) < 0$ donc $a^3-b^3 < 0$.
Nous venons donc de montrer l'assertion $a < b$ $\Rightarrow$ $a^3 < b^3$.
La fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.