Loi binomiale.
Exemple d'expériences de Bernouilli.
- Lancer une piéce de monnaie.
- Demander à quelqu'un si il connaît le nom d'une rue.
- Pouvoir passer ou devoir s'arrêter à un feu de signalisation.
- un circuit électrique marche ou ne marche pas.
- L'espérance mathématiques de $X$ est $E(X)=p$.
- La variance de $X$ est $V(X)=p(1-p)$.
- L'écart type de $X$ est $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.
- $E(X)=P(x=0)\times 0+P(X=1)\times 1=(1-p)\times 0+p\times 1=p$.
- $V(X)=P(x=0)\times (0-E(X))^2+P(X=1)\times(1-E(X))^2$ $=(1-p)(-p)^2+p\times(1-p)^2$ $=(1-p)p^2+p(1-p)^2$ $=p(1-p)[p+(1-p)]=p(1-p)$.
- $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{p(1-p)}$.
Cas général, épreuve de Bernoulli, loi binomiale.
- Donner l'arbre qui décrit l'iunivers quand on réalise la même expérience avec 4 lancers.
- Calculer la loi de probabilité de $X$ la variable aléatoire qui a chaque issue, associe le nombre de succès aprés les quatre lancers $(P(S)=p)$.
- Représenter la loi de probabilté de $X$ pour $n=4$ et $p=0.3$.
Nombre de succès $k$ 0 1 2 3 4 $P(X=k)$ $q^4$ $4pq^3$ $6p^2q^2$ $4p^3q$ $p^4$ $P(X=0)=(1-0,3)^4\approx 0,2401$ $P(X=1)=4\times 0,3\times(1-0,3)^3\approx 0,4016$ $P(X=2)=6\times 0,3^2\times(1-0,3)^2\approx 0,2646$ $P(X=3)=4\times 0,3^3\times(1-0,3)\approx 0,0756$ $P(X=4)=0,3^4\approx 0,0081$
Un exemple fameux en lien avec la physique.
Calcul de la loi binomiale.
- $X$ prend les valeurs $\{0,1,...,n\}$.
- Pour tout $0\leq k\leq n$, on a: $P(X=k)=\bigg(\begin{array}[pos]{c} n\\ k\\ \end{array} \bigg)p^kq^{n-k}$.
- $P(X\leq k)=P(X=0)+...+P(X=k)$.
- $P(X>k)=1-P(X\leq k)$.
- La variable aléatoire $X$ donne le nombre de succès après la répétitions de $n$ épreuves de Bernouilli, donc $X$ prend les valeurs $\{0,1,...,n\}$.
- Dans l'arbre représentant l'univers chaque chemin réalisant $k$ succès a pour probabilité $p^k(1-p)^k$.
Le nombre de chemin menant à $k$ succès est égal au nombre $\bigg(\begin{array}[pos]{c} n\\k\\\end{array} \bigg)$ de combinaisons de $k$ parmi $n$.
$P(X=k)$ est égal au nombre de chemin réalisant $k$ succès $\times$ la probabilité $p(1-p)$, nous avons donc l'égalité:
$P(X=k)=\bigg(\begin{array}[pos]{c}n\\k\\\end{array} \bigg)p^kq^{n-k}$.. - $(X\leq k)=(X=0)\cup (X=1)\cup...\cup(X=k)$, donc $P(X\leq k)=P\bigg((X=0)\cup (X=1)\cup...\cup(X=k)\bigg)$ $=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k)$
- Le contraire de l'événement $(X\leq k)$ est $(X>k)$, on a $\overline{(X\leq k)}=(X>k)$.
Donc $P(X>k)=P\bigg(\overline{(X\leq k)}\bigg)$ $=1-P(X\leq k)$. - $E(X)=np$.
- $V(X)=npq$.
- $\sigma(X)=\sqrt{npq}=\sqrt{np(1-p)}$.
- Démontrons que, pour tout entier $k$ tel que $1\leq k\leq n$
$k\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n\\k\\\end{array} \bigg)=n\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\k-1\\\end{array} \bigg)$.
$k\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n\\k\\\end{array} \bigg)$ $=k\times\dfrac{n!}{(n-k)!\times k!}$ $=\dfrac{n!}{(n-k)!\times (k-1)!}$ $=\dfrac{n\times (n-1)!}{[(n-1)-(k-1)]!\times (k-1)!}$ $=n\times\dfrac{(n-1)!}{[(n-1)-(k-1)]!\times (k-1)!}$ $=n\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\k-1\\\end{array} \bigg)$. - Montrons que: $E(X)=n\times\bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^n \bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\k-1\\\end{array} \bigg) p^i(1-p)^{(n-1)-i}\bigg)$.
$E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^n k\times P(X=k)$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^n k\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n\\k\\\end{array} \bigg)p^kq^{n-k}$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^n n\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\k-1\\\end{array} \bigg) p^kq^{n-k}$ $=n\times\Bigg[\displaystyle\sum_{k=1}^n \bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\k-1\\\end{array} \bigg) p^kq^{n-k}\Bigg]$ $=n\times\Bigg[\displaystyle\sum_{k=1}^n\times p \bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\k-1\\\end{array} \bigg) p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\Bigg]$
Changeons la variable dans la somme, posons $j=k-1$, j varie donc entre $0$ et $n-1$, on a donc:
$E(X)=n\times p \times\Bigg[\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\j\\\end{array} \bigg) p^jq^{(n-1)-j}\Bigg]$, donc
$E(X)=n\times p \times\bigg[p+(i-p)\bigg]^{n-1}=n\times p\times 1^{(n-1)}=np$.Remarque:
Pour comprendre l'égalité $\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\j\\\end{array} \bigg) p^jq^{(n-1)-j}=(p+(1-p))^{(n-1)}$, il suffit d'appliquer la formule du binôme de Newton.
Combinatoire, dénombrements.
- Démontrons que, pour tout entier $k$ tel que $1\leq k\leq n$
$k\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n\\k\\\end{array} \bigg)=n\times\bigg(\begin{array}[pos]{c}n-1\\k-1\\\end{array} \bigg)$.
- Voir la démonstation dans le chapitre somme de variables aléatoires:
Sommes de variables aléatoires.
Echantillonnage.
- Si $a$ est le plus petit des entier naturel tel que $P(X\leq a)>\dfrac{\alpha}{2}$.
- Si $b$ est le plus petit des entier naturel tel que $P(X\leq b)\geq 1-\dfrac{\alpha}{2}$.
Définition.
Soit $p$ un nombre réel appartenant à $[0;1]$. On appelle, épreuve de bernouilli toute expérience aléatoire n'admettant que deux issues possibles, appelées succès $S$ et echec $\bar{S}$ et de probabilité respectives $p$ et $q=1-p$
Exemples.
Tout ces exemples si on les réalise de façon aléatoire sont des épreuves de Bernouilli, car elles débouchent sur deux éventualités, deux issues, dont l'une sera appelée succés.
Propriété
On réalise une épreuve de bernouilli dont le succès dont le succés $S$ apour probabilité $p$.
Une variable aléatoire $X$ est une variable aléatoire de Bernouilli lorsqu'elle est à valeur dans $\{0;1\}$ où la valeur 1 est associé au succés.
On a donc $P(S)=P(X=1)=p$.
On dit alors que $X$ suit la loi de Bernouilli de paramètre $p$, nous avons la loi de probabilité de $X$ suivant:
| $k$ | 0 | 1 |
| $P(X=k)$ | $q=1-p$ | p |
Propriété
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Bernouilli de paramètre $p$, on a les égalités suivantes:
Définition.
On appelle schéma de Bernouilli de paramètre $n\in\mathbb{N}$ et $p\in[0;1]$ une expérience aléatoire correspondant à la répition de $n$ expériences
identiques ayant que deux issues possibles, où le nombre $p$ est la probabilité d'une des deux issues. L'une des deux issue est appelée succès.
Notons $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de succès $S$ au terme des $n$ épreuves identiques, $X$ prend donc comme valeurs $\{0,1,2,...,n\}$.
Soit $\mathcal{E}$ un schéma de Bernouilli de paramètres $n$ et $p$, et soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de succès,
alors on dit que la loi de probabilité de $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$. on note cela $\mathcal{B}(n,p)$.
Exemple avec trois lancers.
On lance un dé trois fois de suite et on note $S$ l'événement "le six est sortie", et par $\bar{S}$ l'événement "le six n'est pas sortie"
, on pose $P(S)=p$ et $P(\bar{S})=q$, on a donc $q=1-p$.
Notons $X$ la variable aléatoire qui a chaque issue, associe le nombre de succès aprés les trois lancers. On a donc la loi de probabilité suivante pour $X$.
| Nombre de succès $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| $P(X=k)$ | $q^3$ | $3pq^2$ | $3p^2q$ | $p^3$ |
Activité:
Planche de Galton.
La planche de Galton est constituée de rangées horizontales de clous décalées d'un demi-cran par rapport à; la précédente. On lache les billes au sommet et celles-ci rebondissent de clou en clou jusqu'à; la base de la planche ou elles sont collectées dans des colonnes
Si le diamètre des billes et l'écartement entre les clous sont correctement choisis, une bille a exactement autant de chance de rebondir à; droite ou à; gauche du clou.
Le chemin de la bille jusqu'au bas de la planche est une expérience aléatoire. Dans la simulation, on a dix rangées de clous et onze colonnes.
En allant de gauche à; droite, on peut nommer le premier colonne «0», le second «1», et ainsi de suite jusqu'au onzième. Le numéro du colonne correspond au nombre de fois que la bille est allée
vers la droite. Cette expérience suit une loi binomiale, car elle donne le nombre de succès.
parmi un nombre d'essais à; deux issues.Toutes les trajectoires possibles étant équiprobables,la probabilité que la bille finisse sa course dans un colonne donné est proportionnelle au nombre de chemins qui mènent du haut de la planche à; la colonne visée.
Il existe dans ce cas 1024 cheminements possibles. Avec une distribution normale, les rapports des contenus des colonnes doivent tendre vers les valeurs 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. On peut remarquer que ces proportions correspondent aux valeurs du triangle arithmétique de Pascal.
En résumé, le contenu de chaque colonne correspond au résultat d'une expérience binomiale de paramètre $p=0,5$.
Le bouton [Départ] déclenche le début d'une série avec remise à; zéro de la ligne supérieure des compteurs.
Il est possible de cumuler les résultats de plusieurs séries. Les cumuls sont affichés par la seconde ligne de compteurs.
La dernière ligne de compteurs affiche un résultat pondéré : Si N billes sont arrivées, on multiplie les valeurs de la seconde ligne de compteurs par 1024 / N.
Propriété.
Soit $n$ un entier non nul et $0\leq k\leq n$. le coefficient binomial $\bigg(\begin{array}[pos]{c}n\\k\\\end{array} \bigg)$ est égal au nombre de chemins réalisant $k$ succès pour $n$ répétitions dans l'arbre d'un schéma de bernouilli.
Calcul pratique de $p(X=k)$; $p(X\leq k)$ et $p(X>k)$.
Soit $X$ une variable aléatoire, qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors on a:
Calcul numérique de $P(X=k)$.
Avec un algorithme Python.
Avec la calculatrice de la classe.
Soit $X$ une variable qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0.5)$
Calculons avec la calculatrice NUMWORKS $P(X < =5)$.
Proposition.
Soit $X$ une variable aléatoire, qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Alors on a:
Propriété.
Soient $n$ un entier naturel non nul, $\alpha$ et $p$ deux nombres réels appartenant à $[0;1]$ et $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
$\mathbb{B}(n;p)$.
Il existe un intervalle $I=[a;b]$ non vide tel que $P(X\in I)=P(a\leq X\leq B)\geq 1-\alpha$.
Un tel intervalle $[a;b]$ est appelé intervalle de fluctuation au seuil de $1-\alpha$
ou $(1-\alpha)\times 100\%$ ou au risque $\alpha$, associé à la variable $X$.
Remarque:
A priori l'intervalle de fluctuation n'est pas unique, mais d'une manière générale dans la pratique on recherche l'intervalle $[a;b]$ centré autour de la valeur $E(X)$ et où les nombres $a$ et $b$ sont les moins grands possibles.
Intervalle de fluctuation centré.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale, $\alpha\in]0;1[$ et $a$ et $b$ deux entiers naturels.
Calcul de l'intervalle de fluctuation au seuil de confiance de $1-\alpha$.
Avec un algorithme Python.
Avec la calculatrice de la classe.
Soit $X$ une variable qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0.3)$
Recherchons avec la calculatrice NUMWORKS l'intervalle de fluctuation centré associé à $X$ au seuil de confiance de 95$\%$.
