Définition, relations entre les primitives d'une fonction..
Définition;
Soit $f$ une fonction définie sur une partie $I$ de $\mathbb{R}$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$, telle que pour tout $x\in I$, on a:
$F'(x)=f(x)$.
Exemples:
Si on considère $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x$, alors la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=x^2$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$,
de même la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=x^2+7$ est encore une primitive de $f$.
Théorème:
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $f$ admet une primitive $F$ sur $I$, alors $f$ admet une
infinité de primitives et toute autre primitive} de $f$
sur $I$ est définie par $G(x)=F(x)+k$ où $k\in\mathbb{R}$.
Soit la fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=F(x)+k$. On a $G'(x)=F'(x)+0=F'(x)=f(x)$, don $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Soit $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$, pour tout $x\in I$ on a $(G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0$. Comme $I$ est un intervalle, la fonction $G-F$ est
constante sur l'intervalle $I$, donc G(x)-F(x)=k (k constante réelle), donc $G(x)=F(x)+k$, pour tout $x\in I$.
Corollaire.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ admettant une primitive sur $I$, et soit $x_0$ un nombre réel appartenant à $I$ et $y_0$ un nombre réel quelconque.
Il existe une seule primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0)=y_0$.
Supposons que $f$ admette sur $I$ une primitive $F$, alors toute les primitives de $f$ sont de la forme $G(x)=F(x)+k$ où $k\in\mathbb{R}$.
Donc recherchons le réel $k$ pour que $G(x_0)=y_0$ $\Leftrightarrow$ $F(x_0)+k=y_0$.
Donc $k=y_0-F(x_0)$.
Soit $f(x)=3$ les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonction $F_k(x)=3x+k$ avec $k\in\mathbb{R}$.
Soit $f(x)=x^3$ les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $F_k(x)=\dfrac{1}{4}x^4+k$ avec $k\in\mathbb{R}$.
Soit $f(x)=\dfrac{1}{x^4}=x^{-4}$ les primitives de $f$ sur $]0;+\infty[$ sont les fonctions
$F_k(x)=\dfrac{1}{(-4)+1}x^{(-4)+1}+k$ $=\dfrac{-1}{3}x^{-3}+k$$=\dfrac{-1}{3x^3}+k$ avec $k\in\mathbb{R}$.
Opérations sur les primitives.
Théorème.
Si $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $\lambda\in\mathbb{R}$, alors $\lambda\times F$ est une primitive de $\lambda\times f$ sur $I$.
Exemples de primitives de Fonctions composées.
Fonction $f$
Primitive $F$
Intervalle $I$
$f(x)=u'\times(u)^n$ $n\in\mathbb{N}$
$F(x)=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$I$
$f(x)=u'\times(u)^n$ si $n<-1$
$F(x)=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
pour tout $x\in I$, $u(x)\not=0$
$f(x)=\dfrac{u'}{u}$
$F(x)=\ln(u)$ ou $f(x)=\ln(-u)$
sur $I$ ou $u<0$ sur $I$
$f(x)=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$F(x)=\sqrt{u}$
$u(x)>0$ sur $I$
$f(x)=u'e^u$
$F(x)=e^u$
$I$
$f(x)=u'\sin{u}$
$F(x)=-\cos{u}$
$I$
$f(x)=u'\cos{u}$
$F(x)=\sin{u}$
$I$
$f(x)=u(ax+b)$ $a\not=0$
$F(x)=\dfrac{1}{a}U(ax+b)$
$I$
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+1)(x^2+x+1)^4$. Nous remarquons que:
$f(x)=u^{'}(x)\times(u(x))^4$ avec $u(x)=x^2+x+1$. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$ avec $F(x)=\dfrac{1}{5}(x^2+x+1)^5$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $F_k(x)=\dfrac{1}{5}(x^2+x+1)^5+k$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(4x+6)(x^2+3x)^2$. Nous remarquons que:
$g(x)=$2$\times u^{'}(x)\times(u(x))^2$ avec $u(x)=x^2+3x$. Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $G$ avec
$G(x)=$2$\times\dfrac{1}{3}(x^2+3x)^3$ $=\dfrac{2}{3}(x^2+3x)^3$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=\dfrac{2}{3}(x^2+3x)^3+k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-\{-1\}$ par $f(x)=\dfrac{3x^2}{(x^3+1)^2}$. Nous remarquons que:
$f(x)=u^{'}(x)\times(u(x))^{-2}$ avec $u(x)=x^3+1$. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}-\{-1\}$ est $F$ avec $F(x)=\dfrac{1}{(-2)+1}{(x^3+1)^{(-2)+1}}$
$=-(x^3+1)^{-1}$ $=\dfrac{-1}{x^3+1}$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $F_k(x)=\dfrac{-1}{x^3+1}+k$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-\{-2\}$ par $g(x)=\dfrac{5}{(2x+4)^3}$. Nous remarquons que:
$g(x)=$$\dfrac{5}{2}$$\times u^{'}(x)\times(u(x))^{(-3)}$ avec $u(x)=2x+4$. Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}-\{-2\}$ est $F$ avec
$G(x)=$$\dfrac{5}{2}$$\times\dfrac{1}{(-3)+1}(2x+4)^{(-3)+1}$ $=\dfrac{-5}{4}(2x+4)^{-2}$ $=\dfrac{-5}{4(2x+4)^2}$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=\dfrac{-5}{4(2x+4)^2}+k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3}{3x-3}$. Nous remarquons que:
$f(x)=\dfrac{u^{'}(x)}{u(x)}$ avec $u(x)=3x-3$ et $3x-3>0$ pour tout $x\in]1;+\infty[$. Une primitive de $f$ sur $]1;+\infty[$ est $F$ avec $F(x)=\ln(3x-3)$
L'ensemble des primitives sont les fonctions $F_k(x)=\ln(3x-3)+k$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$. Nous remarquons que:
$g(x)=$$\dfrac{1}{2}$$\times\dfrac{u^{'}(x)}{u(x)}$ avec $u(x)=x^2+1$ et $x^2+1>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $G$ avec $G(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)$
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)+k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}$. Nous remarquons que:
$f(x)=\dfrac{u^{'}(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ avec $u(x)=x^2+x+1$ et $x^2+x+1>0$ car $\Delta<0$. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$ avec $F(x)=\sqrt{x^2+x+1}$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $F_k(x)=\sqrt{x^2+x+1}+k$ et $k\in\mathbb{R}$.
Soit $g$ la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5x-10}}$. Nous remarquons que:
$g(x)=$$\dfrac{2}{5}$$\times\dfrac{u^{'}(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ avec $u(x)=5x-10$ et $5x-10>0$ pour tout $x\in]2;+\infty[$.
Une primitive de $g$ sur $]2;+\infty[$ est $G$ avec $G(x)=\dfrac{2}{5}\sqrt{5x-10}$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=\dfrac{2}{5}\sqrt{5x-10}+k$ et $k\in\mathbb{R}$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x)\exp(x^2)$. Nous remarquons que:
$f(x)=u^{'}(x)e^{u(x)}$ avec $u(x)=x^2$. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$ avec $F(x)=e^{x^2}$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $F_k(x)=e^{x^2}+k$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\exp(3x+7)$. Nous remarquons que:
$g(x)=$$\dfrac{1}{3}$$\times u^{'}(x)e^{u(x)}$ avec $u(x)=3x+7$. Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $G$ avec $G(x)=\dfrac{1}{3}e^{3x+7}$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=\dfrac{1}{3}e^{3x+7}+k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2\sin(2x+\pi)$. Nous remarquons que:
$f(x)=u^{'}(x)\sin(u(x))$ avec $u(x)=2x+\pi$. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$ avec $F(x)=-\cos(2x+\pi)$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $F_k(x)=-\cos(2x+\pi)+k$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=5\sin(3x-\pi)$. Nous remarquons que:
$g(x)=$$\dfrac{5}{3}$$\times u^{'}(x)\sin(u(x))$ avec $u(x)=3x-\pi$. Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $G$ avec
$G(x)=-\dfrac{5}{3}\cos(3x-\pi)$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=-\dfrac{5}{3}\cos(3x-\pi)+k$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2\cos(2x+\pi)$. Nous remarquons que:
$f(x)=u^{'}(x)\cos(u(x))$ avec $u(x)=2x+\pi$. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$ avec $F(x)=\sin(2x+\pi)$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $F_k(x)=\sin(2x+\pi)+k$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=5\cos(3x-\pi)$. Nous remarquons que:
$g(x)=$$\dfrac{5}{3}$$\times u^{'}(x)\cos(u(x))$ avec $u(x)=3x-\pi$. Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $G$ avec
$G(x)=\dfrac{5}{3}\sin(3x-\pi)$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=\dfrac{5}{3}\sin(3x-\pi)+k$.
Exercice:
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)$. Montrer que $F(x)=x\ln(x)-x$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
Déduire de la question 1°) toutes les primitives de la fonction $g(x)=\ln(2x+3)$ sur $]-\dfrac{3}{2};+\infty[$.
G(x)=\dfrac{1}{2}F(2x+3)$ $=\dfrac{1}{2}[(2x+3)\ln(2x+3)-(2x+3)] est une primitive de $g$ sur $]-\dfrac{3}{2};+\infty[$.
L'ensemble des primitives sont les fonctions $G_k(x)=\dfrac{1}{2}[(2x+3)\ln(2x+3)-(2x+3)]+k$.