L'ensemble des nombres Complexes $\mathbb{C}$.

Nombres complexes, écriture algébrique.

Introduction, nécéssité d'étendre l'ensemble des nombres réels.

L'équation $(E):x^2+1=0$ n'admet pas de solution, en effet nous avons pour tout $x\in\mathbb{R}$ $x^2\geq 0$ et donc $x^2+1\geq 1$, donc l'équation $(E)$ n'admet pas de solution. Imaginons un ensemble $\mathcal{X}$ contenant l'ensemble des nombres réels dans lequel, il existerait une solution pour l'équation $(E)$.
Si par exemple on note $i$ la solution de $(E)$, on a $i^2+1=0$ ce qui veut dire que dans l'ensemble $\mathcal{X}$ on peut écrire $i^2=-1$.
Si on demande maintenant que les opérations sur les nombres réels, se prolongent encore dans $\mathcal{X}$ et puissent même se prolonger avec l'élément $i$, on peut alors écrire par exemple $i+3$, $i\times4$, $(2-i)\times i$. Par exemple dans $\mathcal{X}$ on a:
$(2-i)\times i=2i-i^2=2i+1.$

Définition.

On appelle nombre complexe tout élément de la forme $a+ib$ dans lequel $a$ et $b$ sont des réels et $i$ est un élément vérifiant $i^2=-1$.
l'ensemble des nombres complexes est notée $\mathbb{C}$.
On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes:

d'une addition, soient $z_0=a_0+ib_0$ et $z_1=a_1+ib_1$ on pose $z_0+z_1=(a_0+a_1)+i(b_0+b_1)$.
d'un produit, soient $z_0=a_0+ib_0$ et $z_1=a_1+ib_1$ on pose $z_0\times z_1=(a_0a_1-b_0b_1)+i(a_0b_1+a_1b_0)$.

Remarque:

Tout nombre réel $a$ peut s'écrire $a+i0$, donc il est clair que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.
La multiplication est naturelle car si on veut prolonger la distributivité de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, on obtient: $(a_0+ib_0)\times(a_1+ib_1)=a_0\times(a_1+ib_1)+ib_0\times(a_1+ib_1)=a_0a_1+ia_0b_1+ia_1b_0+i^2b_0b_1$ donc $(a_0+ib_0)\times(a_1+ib_1)=(a_0a_1-b_0b_1)+i(a_0b_1+a_1b_0).$

Théorème (admis en terminale).

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de facon unique sous la forme $a+ib$ où $a,b\in\mathbb{R}$.
En d'autres termes on a: $a+ib=a^{'}+ib^{'}$ $\Leftrightarrow$ $a=a^{'}$ et $b=b^{'}$.

Vocabulaire.

Cette écriture unique du nombre $z\in\mathbb{C}$ s'appelle la forme algébrique de $z$, le réel $a$ s'appelle la partie réelle de $z$, le réel $b$ s'appelle la partie imaginaire de $z$. On note $a=\mathcal{R}e(z)$ et $b=\mathcal{I}m(z)$.

$z$ est réel équivaut à $\mathcal{I}m(z)=0$.
$z$ est imaginaire pur équivaut à $\mathcal{R}e(z)=0$.

Propriétés algébriques des nombres complexes.

Exemples de calculs algébriques.

Calculer les nombres complexes suivants: $2(3+i)-2(1+i)$, $(1+i)(2-3i)$, $(2+i)^2$ $5\times(1+i)^2+i^3$ et $i^7$.

$2(3+i)-2(1+i)=6+2i-2-2i=4+0i=4$.
$(1+i)(2-3i)=2-3i+2i-3i^2=2-i-3 \times(-1)=5-i$.
$(2+i)^2=2^2-2\times 2\times i+i^2=4-4i-1=3-4i$.
$5\times(1+i)^2+i^3=5\times(1+2i-1)+i^2\times i=10i-i=9i$.
$i^7=(i^2)^3\times i=(-1)^3\times i=-i$.

Pour tout $z_0$ et $z_1$ dans $\mathbb{C}$ on a: $z_0+z_1=z_1+z_0$.
Pour tout $z_0$ et $z_1$ dans $\mathbb{C}$ on a: $z_0\times z_1=z_1\times z_0$.
Pour tout $z_0$, $z_1$ et $a$ dans $\mathbb{C}$ on a: $a\times(z_0+z_1)=a\times z_1+a\times z_0$.

Soit $z_0=a_0+ib_0$ et soit $z_1=a_1+ib_1$.
$z_0+z_1=(a_0+a_1)+i(b_0+b_1$ $=(a_1+a_0)+i(b_1+b_0)=z_1+z_0$.
$z_0\times z_1=(a_0+ib_0)\times(a_1+ib_1)$ $=a_0\times(a_1+ib_1)+ib_0\times(a_1+ib_1)$ $=a_0a_1+ia_0b_1+ia_1b_0+i^2b_0b_1$ $=(a_0a_1-b_0b_1)+i(a_0b_1+a_1b_0)$.
$z_1\times z_0=(a_1+ib_1)\times(a_0+ib_0)$ $=a_1\times(a_0+ib_0)+ib_1\times(a_0+ib_0)$ $=a_1a_0+ia_1b_0+ia_0b_1+i^2b_1b_0$ $=(a_1a_0-b_1b_0)+i(a_1b_0+a_0b_1)$ $=(a_0a_1-b_0b_1)+i(a_0b_1+a_1b_0)$.
Donc on a: $z_0\times z_1=z_1\times z_0$.
Pour démontrer cette propriété, il suffit de procéder comme précédemment.

L'inverse d'un nombre complexe non nul.

Définition-proposition.

Soit $z$ un élèment de $\mathbb{C}$ différent de $0$ $(z\in\mathbb{C}^\star)$, on appelle l'inverse de $z$ dans $\mathbb{C}$ l'unique nombre complexe $z^{'}$ tel que $z\times z^{'}=z^{'}\times z=1$.

On a: $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+ib}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-i\dfrac{b}{a^2+b^2}$.

Soit $z=a+ib$. Nous avons $(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$. Si $a+ib\not=0$ alors $a$ et $b$ ne sont pas simultanément nul. Donc $a^2+b^2\not=0$.
Donc $(a+ib)\times\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}=1$ et aussi $\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}\times (a+ib)=1$.
Donc $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+ib}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-i\dfrac{b}{a^2+b^2}$.

Conjugué d'un nombre complexe.

Définition.

On appelle le conjugué du nombre complexe $z=a+ib$, le nombre complexe $a-ib$.
On note le nombre conjugué de $z$, $\bar{z}$.

Propriétés du conjugué $\bar{z}$.

Pour tout $z\in\mathbb{C}$ on a $\bar{\bar{z}}=z$.
$z\in\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ si et seulement si $z=\bar{z}$.
Le nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si $\bar{z}=-z$.

Soit $z=a+ib$.

$\bar{\bar{z}}=\overline{(\overline{a+ib})}=\overline{a-ib}=a+ib=z$.
Supposons que $z\in\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ donc $z=a$ donc $\bar{z}=\bar{a}=a=z$.

Supposons que $z$ est imaginaire pur, donc $z=ib$.Nous avons $\bar{z}=-ib=-z$.

Opérations sur les nombres conjugués.

Pour tout $z$ et $z^{'}$ dans $\mathbb{C}$ on a:

$\overline{z+z^{'}}=\bar{z}+\bar{z^{'}}$.
$\overline{z\times z^{'}}=\bar{z}\times\bar{z^{'}}$.
$\overline{\displaystyle\frac{z}{z^{'}}}=\displaystyle\frac{\bar{z}}{\bar{z^{'}}}$.
$\bar{z}\times\bar{z^{'}}=|z|^2$.
Pour $z\not=0$, $\displaystyle\frac{1}{z}=\displaystyle\frac{\bar{z}}{|z|^2}$.

Soit $z=a+ib$.

$\overline{z+z^{'}}=\overline{(a+ib)+(a^{'}+ib^{'})}$ $=\overline{(a+a^{'})+i(b+b^{'})}$ $=(a+a^{'})-i(b+b^{'})$ $=(a-ib)+(a^{'}-ib^{'})=\bar{z}+\bar{z^{'}}$.
$\overline{z\times z^{'}}=\overline{(a+ib)\times(a^{'}+ib^{'})}$

Montrons que pour tout $z\not=0$ on a: $\overline{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{1}{\overline{z}}$.

$\bar{z}\times\bar{z^{'}}=(a+ib)\times(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$ or $|z|$ est par définition égal à $\sqrt{a^2+b^2}$, d'ou l'égalité.
Propriété évidente c'est la réécriture de $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+ib}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-i\dfrac{b}{a^2+b^2}$

Equation du premier degré.

$az+b=0$, avec $a\not=0$, $b\in\mathbb{C}$.

Résoudre les équations suivantes, donner les solutions sous forme algébique:

$(2+i)z=1-i$.
$3z-(1+4i)=iz$.

$(2+i)z=1-i$ $\Leftrightarrow$ $z=\dfrac{1-i}{2+i}$ $=\dfrac{(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

$3z-(1+4i)=iz$ $\Leftrightarrow$ $(3-i)z=1+4i$ $\Leftrightarrow$ $z=\dfrac{1+4i}{3-i}$.

$a\bar{z}+b=0$, avec $a\not=0, b\in\mathbb{C}$.

Résoudre les équations suivantes, donner les solutions sous forme algébique:

$i\bar{z}=1-i$.
$(5+2i)\bar{z}-i=3\bar{z}+1$.

$i\bar{z}=1-i$ $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=\dfrac{1-i}{i}$ $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=\dfrac{i(1-i)}{i^2}=\dfrac{1+i}{-1}=-1-i.$
Donc $z=-1+i$
$(5+2i)\bar{z}-i=3\bar{z}+1$ $\Leftrightarrow$ $(5+2i)\bar{z}-3\bar{z}=1+i$

Equation du second degré à coefficients réels.

Soit $P(x)=az^2+bz+c$, avec $a\not=0$, considérons l'équation $P(z)=0$.

Si $\Delta>0$, alors $P$ admet deux racines réelles distinctes:

$z_0=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$z_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Si $\Delta=0$, alors $P$ admet une seule racine réelle (racine double):

Si $\Delta<0$, alors $P$ admet deux racines complexes conjuguées: $z_0=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. et pour tout $z\in\mathbb{C}$, on a $P(z)=a(z-z_0)(z-z_1)$.

$az^2+bz+c=a\bigg(z^2+\displaystyle\frac{b}{a}z+\displaystyle\frac{c}{a}\bigg)$

Trois cas se posent.

Si $\Delta>0$

$z_0=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Si $\Delta=0$

$z_0=\displaystyle\frac{-b}{2a}.$

Si $\Delta<0$

$z_0=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Représentation graphique d'un nombre complexe.

Définitions.

On dit que $M$ de coordonnées $(a;b)$ a pour affixe le nombre complexe $z=a+ib$.
On dit que $M$ est l'image de $z$.
On a $\overrightarrow{OM}=a\vec{i}+b\vec{j}$.
La distance $OM$ est appelée module de z. On note $|z|=OM$.
On a donc $|z|^2=a^2+b^2$, et donc $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Interprétation géomètrique des opérations sur les nombres complexes.

Somme de deux nombres complexes.

Soit $M$ et $M^{'}$ deux points d'affixes $z$ et $z^{'}$.

Soit $\vec{u}$ un vecteur d'affixe $z$ et $\vec{v}$ un vecteur d'affixe $z^{'}$, alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour affixe $z+z^{'}$.

Soit $z=a+ib$ l'affixe de $M$ et soit $z^{'}(a'+ib)$ l'affixe de $M^{'}$.
donc le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $(a;b)$ et $\overrightarrow{OM^{'}}$ a pour coordonnées $(a';b')$.
Le vecteur $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM^{'}}$ a pour coordonnées $(a+a';b+b')$, donc le point $S$ a pour coordonnées $(a+a';b+b')$.
Conclusion: $S((a+a')+i(b+b'))$.

Produit d'un complexe par un réel.

Soit $M$ le point d'affixe $z$ et soit $k$ un nombre réel, considérons le point $P$ du plan défini par $\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OM}$.
Le point a pour affixe $kz$.
Soit $\overrightarrow{W}$ d'affixe $z$ et $k$ un nombre réel, alors $k\overrightarrow{W}$ a pour affixe $kz$.

Soit $z=a+ib$ l'affixe de $M$ et soit $k$ un nombre réel.
donc le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $(a;b)$ et $k\times\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $(ka;kb)$.
Le vecteur $\overrightarrow{OP}=k\times\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $(ka;kb)$, donc le point $P$ a pour coordonnées $(ka;kb)$.
Conclusion: $P((ka)+i(kb))$.

Premiéres utilisations des nombres complexes en géométrie.

Propriétés.

Soit $A$ d'affixe $z_A$ et soit $B$ d'affixe $z_B$, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.
Soit $A$ d'affixe $z_A$ et soit $B$ d'affixe $z_B$, alors le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
Soit $M$ d'affixe $z$ le symétrique $M^{'}$ de $M$ par la symétrie d'axe $(Ox)$ a pour affixe $\overline{z}$.
Soit $M$ d'affixe $z$ le symétrique $M^{'}$ de $m$ par la symétrie de centre $O$ apour affixe $-z$.

$A(z_A)$ et $B(z_B)$ comme $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A0}+\overrightarrow{OB}$ $=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
Donc l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$
Soient $A(z_A)$ et $B(z_B)$ avec $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$, donc $A(x_A;y_A)$ et$B((x_B;y_B)$.
D'aprés le cours de seconde on sait que $I$ le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\bigg(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)$
Soit $M$ d'affixe $z=a+ib$. posons $M^{'}$ le symétrique de $M$ par rapport à $(Ox)$ et soit $M^{'}_1$ le symétique de $M$ par rapport à $O$.

On remarque donc que $M'$ a pour affixe $\overline{z}$ et $M^{'}_1$ a pour affixe $-z$.

Cours de mathématiques TS

L'ensemble des nombres Complexes $\mathbb{C}$.

Nombres complexes, écriture algébrique.

Introduction, nécéssité d'étendre l'ensemble des nombres réels.

Définition.

Remarque:

Théorème (admis en terminale).

Vocabulaire.

Propriétés algébriques des nombres complexes.

Exemples de calculs algébriques.

L'inverse d'un nombre complexe non nul.

Définition-proposition.

Conjugué d'un nombre complexe.

Définition.

Propriétés du conjugué $\bar{z}$.

Opérations sur les nombres conjugués.

Equation du premier degré.

$az+b=0$, avec $a\not=0$, $b\in\mathbb{C}$.

$a\bar{z}+b=0$, avec $a\not=0, b\in\mathbb{C}$.

Equation du second degré à coefficients réels.

Je m'entraine!

Représentation graphique d'un nombre complexe.

Définitions.

Interprétation géomètrique des opérations sur les nombres complexes.

Somme de deux nombres complexes.

Produit d'un complexe par un réel.

Premiéres utilisations des nombres complexes en géométrie.

Propriétés.