Equations de sphères.

Relations métriques dans un triangle quelconque.

Théorème.

Dans un repère , soit un point $I(x_0;y_0;z_0)$ et soit un réel $r$ strictement positif $r>0$ .
La sphère $\mathcal{S}$ de centre $I$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tel que $IM=r$ .
La sphère $\mathcal{S}$ de centre $I$ et de rayon $r$ admet pour équation cartésienne l'équation: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.$ $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2=0$ .

$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $IM=r$ $\Leftrightarrow$ $IM^2=r^2$ .
$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2=r^2$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2=0$ .
Conclusion: $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2=0$ .

Exercice.

Donner l'équation de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(-1;2;-3)$ et de rayon $3$ .

$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $\Omega M=3$ $\Leftrightarrow$ $\Omega M^2=9$ .
$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=9$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+1+4+9=9$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+5=0$ .
Conclusion: $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+5=0$ .

Réciproque du théorème.

Dans un repère , l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M(x;y;z)$ vérifiant une équation de la forme: $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0,$

si $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d>0$ , alors $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $I(-\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2})$ et de rayon $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d>0$ .
si $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d=0$ , alors $\mathcal{S}$ est restreint au point $I(-\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2})$ .
si $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d < 0$ , alors $\mathcal{S}$ est l'ensemble vide.

Dans un repère , considérons l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M(x;y;z)$ vérifiant une équation: $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
En utilisant la même méthode pour déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ $\Leftrightarrow$ $(x^2+ax)$ +++d=0
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2-\dfrac{a^2}{4}$ +++d=0.
Donc on a: $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ $\Leftrightarrow$ $\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2+\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2-\dfrac{a^2}{4}-\dfrac{b^2}{4}-\dfrac{c^2}{4}+d=0$
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2+\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d$
Trois cas se posent donc:

Premier cas: $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d>0$ .
Posons $I(-\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2})$ et $r=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d}$ , on a donc:
$\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2+\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d$ $\Leftrightarrow$ $IM^2=r^2$ $\Leftrightarrow$ $M$ appartient à la sphère de centre $I$ et de rayon $r$ .
$\mathcal{S}$ est la sphère de centre $I(-\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2})$ et de rayon $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d>0$ .
Deuxième cas: $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d=0$ .
$\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2+\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d$ $\Leftrightarrow$ $IM^2=0$ $\Leftrightarrow$ $IM=0$ $\Leftrightarrow$ $M$ et $I$ sont confondus.
$\mathcal{S}$ est restreint au point $I(-\dfrac{a}{2};-\dfrac{b}{2};-\dfrac{c}{2})$ .
Troisième cas: $\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d < 0$ .
L'équation $\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2+\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d$ est impossible, donc $\mathcal{S}$ est l'ensemble vide.

Exercice.

Dans un repère orthonormé, on donne les équations suivantes, pour chacune de ces équations, reconnaitre l'ensemble.

$x^2+y^2+z^2-2x+y-4z+1=0$ .
$x^2+y^2+z^2-2x+8y+5=0$ .
$2x^2+2y^2+2z^2-4x-8y+8z+20=0$ .

$x^2+y^2+z^2-2x+y-4z+1=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2-1+(y+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}+(z-2)^2-4+1=0$
Donc $x^2+y^2+z^2-2x+y-4z+1=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2+(y-\dfrac{1}{2})^2+(z-2)^2=\dfrac{17}{4}$ .
Si on pose $I(1;-\dfrac{1}{2};2)$ et $r=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$ , on a l'équivalence:
$M(x;y;z)$ , vérifie $x^2+y^2+z^2-2x+y-4z+1=0$ $\Leftrightarrow$ $IM=r$ .
On en déduit que l'ensemble des points $M(x;y;z)$ , vérifiant $x^2+y^2+z^2-2x+y-4z+1=0$ est la sphère de centre $I(1;-\dfrac{1}{2};2)$ et de rayon $r=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$ .
$x^2+y^2+z^2-2x+8y+5=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2-1+(y+4)^2-16+z^2+5=0$
Donc $x^2+y^2+z^2-2x+8y+5=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2+(y+4)^2+z^2=12$ .
Si on pose $I(1;-4;0)$ et $r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , on a l'équivalence:
$M(x;y;z)$ , vérifie $x^2+y^2+z^2-2x+8y+5=0$ $\Leftrightarrow$ $IM=r$ .
On en déduit que l'ensemble des points $M(x;y;z)$ , vérifiant $x^2+y^2+z^2-2x+8y+5=0$ est la sphère de centre $I(1;-4;0)$ et de rayon $r=2\sqrt{3}$ .
En divisant par deux, on obtient:
$2x^2+2y^2+2z^2-4x-8y+8z+20=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z+10=0$ .
$x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z+10=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+(z+2)^2-4+10=0$ .
$x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z+10=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=-1$ .
L'équation $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=-1$ est impossible.

Théorème.

La sphère de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ .

Considérons l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ , montrons que $\mathcal{E}$ est la sphère de diamètre $[AB]$ .
$M\begin{pmatrix}x\\y\\z\\ \end{pmatrix}\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$
$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_A\\y-y_A\\z-z_A\\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}x-x_B\\y-y_B\\z-z_B\\ \end{pmatrix}$ , donc on a:
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)+(z-z_A)(z-z_B)=0$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2-(x_A+x_B)x-(y_A+y_B)y-(z_A+z_B)z+x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B=0$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2-(x_A+x_B)x-(y_A+y_B)y+x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B=0$
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x-\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2+\bigg(y-\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2+\bigg(z-\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2+x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B=0$
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x-\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2+\bigg(y-\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2+\bigg(z-\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}{4}\bigg)=0$
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x-\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2+\bigg(y-\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2+\bigg(z-\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2=\dfrac{AB^2}{4}=\bigg(\dfrac{AB}{2}\bigg)^2$
Donc Le point $M$ appartient au cercle de centre $I\bigg(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ , on remarque que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ .
Donc le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ .

Intersection d'une sphère et d'une droite.
Deux points d'intersections.

Dans un repère déterminer l'intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et la droite $(d)$ .
- $(d):\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}x=6-k \\y=-4+2k\\z=1+k \\ \end{array}$ avec $k\in\mathbb{R}$ .
- $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x-21=0$ .
Un point d'intersection.

Dans un repère déterminer l'intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et la droite $(d)$ .
- $(d):\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}x=t \\y=t\\z=3 \\ \end{array}$ avec $t\in\mathbb{R}$ .
- $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$ .
Aucun point d'intersection.

Dans un repère déterminer l'intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et la droite $(d)$ .
- $(d):\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}x=3+k \\y=1+2k\\z=1+k \\ \end{array}$ avec $k\in\mathbb{R}$ .
- $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x-y-z-10=0$ .
- $(d):\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}x=6-k \\y=-4+2k\\z=1+k \\ \end{array}$ avec $k\in\mathbb{R}$ .
- $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x-21=0$ .
M(x;y;z)∈S∩(d) ⇔ (6−k)2+(−4+2k)2+(1+k)2−2(6−k)−21=0
(6−k)2+(−4+2k)2+(1+k)2−2(6−k)−7=0 ⇔ k2−12k+36+4k2−16k+16+k2+2k+1−12+2k−21=0 ⇔ 6k2−24k+20=0 ⇔ 3k2−12k+10=0.
Résolvons l'équation 3k2−12k+10=0.
Δ=(−12)2−4×3×10=24>0, donc il existe deux solution réelles distinctes;
k0=12−√246=2−√63 et k1=12+√246=2+√63.
L'ensemble S∩(d) est constitué de deux points A et B.
Si k=k0=2−√63 ⇒ {xA=6−k0yA=−4+2k0zA=1+k0
Si k=k1=2+√63 ⇒ {xB=6−k1yB=−4+2k1zB=1+k1
- $(d):\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}x=t \\y=t\\z=3 \\ \end{array}$ avec $t\in\mathbb{R}$ .
- $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$ .
M(x;y;z)∈S∩(d) ⇔ t2+t2+32−2t−2t−6−1=0 ⇔ 2t2−4t+2=2(t2−2t+1)=0 ⇔ (t−1)2=0.
Il existe qu'une solution t=1, donc l'ensemble S∩(d) est constitué d'un seul points A, on dit que la droite (d) est tangente à la sphère S.
Si t=1 ⇒ {xA=1yA=1zA=3.
- $(d):\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}x=3+k \\y=1+2k\\z=1+k \\ \end{array}$ avec $k\in\mathbb{R}$ .
- $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x-y-z+20=0$ .
M(x;y;z)∈S∩(d) ⇔ (3+k)2+(1+2k)2+(1+k)2−2(3+k)−(1+2k)−(1+k)+20=0
(3+k)2+(1+2k)2+(1+k)2−2(3+k)−(1+2k)−(1+k)−2=0 ⇔ k2+6k+9+4k2+4k+1+k2+2k+1−6−2k−1−2k−1−k+20=0 ⇔ 6k2+9k+23=0.
Résolvons l'équation 6k2+9k+23=0.
Δ=92−4×6×23=−471<0, donc l'équation ne possède pas de solution réelle, donc S∩(d)=∅.

Equations de sphères.

Relations métriques dans un triangle quelconque.

Théorème.

Exercice.

Réciproque du théorème.

Exercice.

Théorème.

Intersection d'une sphère et d'une droite.

Deux points d'intersections.

Un point d'intersection.

Aucun point d'intersection.