Dans un repère orthonormé, soit un point $I(x_0;y_0;z_0)$ et soit un réel $r$ strictement positif $r>0$.
La sphère $\mathcal{S}$ de centre $I$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tel que $IM=r$.
La sphère $\mathcal{S}$ de centre $I$ et de rayon $r$ admet pour équation cartésienne l'équation:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.$
$\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2=0$.
$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $IM=r$ $\Leftrightarrow$ $IM^2=r^2$.
$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2=r^2$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2=0$.
Conclusion: $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2=0$.
Donner l'équation de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(-1;2;-3)$ et de rayon $3$.
$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $\Omega M=3$ $\Leftrightarrow$ $\Omega M^2=9$.
$M(x;y;z)\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=9$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+1+4+9=9$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+5=0$.
Conclusion: $\mathcal{S}:x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+5=0$.
Dans un repère orthonormé, l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M(x;y;z)$ vérifiant une équation de la forme: $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0,$
Dans un repère orthonormé, considérons l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M(x;y;z)$ vérifiant une équation:
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
En utilisant la même méthode pour déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ $\Leftrightarrow$ $(x^2+ax)$+$(y^2+by)$+$(z^2+cz)$+d=0
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2-\dfrac{a^2}{4}$+$\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2-\dfrac{b^2}{4}$+$\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2-\dfrac{c^2}{4}$+d=0.
Donc on a: $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ $\Leftrightarrow$ $\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2+\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2-\dfrac{a^2}{4}-\dfrac{b^2}{4}-\dfrac{c^2}{4}+d=0$
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x+\dfrac{a}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{b}{2}\bigg)^2+\bigg(z+\dfrac{c}{2}\bigg)^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}-d$
Trois cas se posent donc:
Dans un repère orthonormé, on donne les équations suivantes, pour chacune de ces équations, reconnaitre l'ensemble.
La sphère de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$.
Considérons l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ de l'espace tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$, montrons que $\mathcal{E}$
est la sphère de diamètre $[AB]$.
$M\begin{pmatrix}x\\y\\z\\ \end{pmatrix}\in\mathcal{S}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$
$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_A\\y-y_A\\z-z_A\\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}x-x_B\\y-y_B\\z-z_B\\ \end{pmatrix}$, donc on a:
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$ $\Leftrightarrow$ $(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)+(z-z_A)(z-z_B)=0$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2-(x_A+x_B)x-(y_A+y_B)y-(z_A+z_B)z+x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B=0$
$\Leftrightarrow$ $x^2+y^2-(x_A+x_B)x-(y_A+y_B)y+x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B=0$
$\Leftrightarrow$
$\bigg(x-\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2+\bigg(y-\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2+\bigg(z-\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2+x_Ax_B+y_Ay_B+z_Az_B=0$
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x-\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2+\bigg(y-\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2+\bigg(z-\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2-\bigg(\dfrac{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}{4}\bigg)=0$
$\Leftrightarrow$ $\bigg(x-\dfrac{x_A+x_B}{2}\bigg)^2+\bigg(y-\dfrac{y_A+y_B}{2}\bigg)^2+\bigg(z-\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)^2=\dfrac{AB^2}{4}=\bigg(\dfrac{AB}{2}\bigg)^2$
Donc Le point $M$ appartient au cercle de centre $I\bigg(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\bigg)$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$, on remarque que $I$ est le milieu
du segment $[AB]$.
Donc le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.
Dans un repère orthonormé déterminer l'intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et la droite $(d)$.
Dans un repère orthonormédéterminer l'intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et la droite $(d)$.
Dans un repère orthonormédéterminer l'intersection entre la sphère $\mathcal{S}$ et la droite $(d)$.