Définitions.

• Dire qu'une suite $(u_n)$ est croissante signifie que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_n\leq u_{n+1}$.
• Dire qu'une suite $(u_n)$ est strictement croissante signifie que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_n < u_{n+1}$.
• Dire qu'une suite $(u_n)$ est décroissante signifie que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geq u_{n+1}$.
• Dire qu'une suite $(u_n)$ est strictement décroissante signifie que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>u_{n+1}$.

Différentes techniques pour étudier la montonie d'une suite.

• Méthode 1:Etudier le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n\geq 0$, alors la suite est croissante.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n\leq 0$, alors la suite est décroissante.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n>0$, alors la suite est strictement croissante.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n < 0$, alors la suite est strictement décroissante.
  
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• Méthode 2:Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>0$}, on peut comparer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ avec le nombre $1$.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$, alors la suite est croissante.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$, alors la suite est décroissante.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$, alors la suite est strictement croissante.
  • Si pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, alors la suite est strictement décroissante.
  
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• Methode 3: Etudier le sens de variation de la fonction $f$ telle que $u_{n}=f(n)$.
  • Si la fonction est croissante sur $[0;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
  • Si la fonction est décroissante sur $[0;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.
  • Si la fonction est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
  • Si la fonction est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
  
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• Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{1}{n+2}$.
  $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)+2}-\dfrac{1}{n+2}$ $=\dfrac{1}{n+3}-\dfrac{1}{n+2}$ $=\dfrac{(n+2)-(n+3)}{(n+2)(n+3)}=-\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}$
  Le nombre $(n+2)(n+3)>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, donc $u_{n+1}-u_n < 0$, donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=n^2+2n$.
  $v_{n+1}-v_n=(n+1)^2+2(n+1)-(n^2+2n)$ $=2n+3$
  Le nombre $(2n+3)>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, donc $v_{n+1}-v_n > 0$, donc la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

• Soit $u_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
  Il est clair que $u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$,
  $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{2^{(n+1)+1}}{3^{n+1}}}{\dfrac{2^{n+1}}{3^n}}$ $=\dfrac{\dfrac{2^{(n+1)}\times 2}{3^{n}\times 3}}{\dfrac{2^{n+1}}{3^n}}$ $=\dfrac{2^{(n+1)}\times 2}{3^{n}\times 3}\times\dfrac{3^n}{2^{n+1}}$ $=\dfrac{2}{3} < 1$, donc $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ et $u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
  Donc la suite (u_n) est strictement décroissante.
• Soit $v_n=\dfrac{2^{2n}}{3^n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
  Il est clair que $v_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$,
  $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{\dfrac{2^{2(n+1)}}{3^{n+1}}}{\dfrac{2^{n+1}}{3^n}}$ $=\dfrac{\dfrac{2^{(2n+2)}}{3^{n}\times 3}}{\dfrac{2^{2n}}{3^n}}$ $=\dfrac{\dfrac{2^{2n}\times 2^2}{3^{n}\times 3}}{\dfrac{2^{2n}}{3^n}}$ $=\dfrac{2^{2n}\times 4}{3^{n}\times 3}\times\dfrac{3^n}{2^{2n}}$ $=\dfrac{4}{3}> 1$, donc $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}> 1$ et $v_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
  Donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

• Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\geq1$ et $u_n=n^4-\dfrac{4}{3}n^3$.
  On peut remarquer que $u_n=f(n)$ avec la fonction $f$ définie par $(f(x)=x^4-\dfrac{4}{3}x^3$; Etudions les variation de $f$ sur l'intervalle $[1;+\infty[$.
  $f'(x)=4x^3-\dfrac{4}{3}\times 3x^2=4x^3-4x^2=4x^2(x-1)$. Etudions le signe de $f'(x)$, $x\in[1;+\infty[$ donc $x\geq 1$ donc $x-1\geq 0$.
  Donc $f'(x)\geq 0$, la fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$, donc la suite $(u_n)$ est croissante.

Définitions.

• Dire qu'une suite réelle $(u_n)$ est majoré, signifie qu'il existe $M\in\mathbb{R}$ tel que pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leq M$. Ce nombre $M$ est appelé majorant de la suite $(u_n)$.
• Dire qu'une suite réelle $(u_n)$ est minoré, signifie qu'il existe $m\in\mathbb{R}$ tel que pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geq m$. Ce nombre $m$ est appelé minorant de la suite $(u_n)$.
• Dire qu'une suite réelle $(u_n)$ est bornée si $(u_n)$ est minorée et majorée, c'est à dire il existe $m,M\in\mathbb{R}$ tels que $m\leq u_n\leq M$.
  
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• Soit $u_n=2+\dfrac{1}{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$. La suite est majorée par $3$.
  pour tout $n>0$ on a $n\geq 1$, donc $\dfrac{1}{n}\leq 1$, donc $2+\dfrac{1}{n}\leq 3$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$.
  La suite $(u_n)$ est majorée par le réel $3$

  Remarque:

  Tout nombre $M\geq 3$ sera encore un majorant de la suite $(u_n)$.
• Si nous reprenons le premier exemple il est clair que pour tout $n\geq 1$ nous avons $2\leq u_n$.
  La suite $(u_n)$ est minorée par le reél $2$. Donc on peut résumer en disant que la suite est bornée en effet pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$ nous avons $2\leq v_n\leq 3$.

  Remarque:

  Tout nombre $m\leq 2$ sera encore un minorant de la suite $(u_n)$.
• Soit $v_n=3+2\sin(n)$ pout tout $n\in\mathbb{N}$.
  Pout tout $n\in\mathbb{N}$, $-1\leq v_n\leq 1$ $\Rightarrow$ $-2\leq 2\sin(n)\leq 2$ $\Rightarrow$ $1\leq 3+2\sin(n)\leq 5$, donc $1\leq 3+2v_n\leq 5$.
  La suite $(v_n)$ est bornée.

Remarque.

Il est parfois difficile de prouver une propriété sur les termes d'une suite car on ne peut pas connaître la valeur de $u_n$ en fonction de $n$, c'est le cas de beaucoup de suites définies par récurrence. On fait donc un raisonnement de "proche en proche" que l'on appelle raisonnement par récurrence.

Principe du raisonnement par récurrence.

Pour démontrer par récurrence qu'une propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$, on procède de la manière suivante:

• On vérifie que $\mathcal{P}_0$ est vraie.
• On suppose que pour un entier naturel $n$ quelconque , la propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie, et on démontre que: $\mathcal{P}_n$ vraie $\Rightarrow$ $\mathcal{P}_{n+1}$ vraie.

• Initialisation:Si $n=0$ on a $0\leq v_0=0\leq 2$, la propriété est vraie au rang 0.
• Transmission:Supposons qu'il existe un entier $p\in\mathbb{N}$ tel que $0\leq v_p\leq 2$.
  $0\leq v_p\leq 2$ $\Rightarrow$ $2\leq v_p\leq 4$, la fonction $x\to\sqrt{x}$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
  Donc comme $2\leq v_p+2\leq 4$ $\Rightarrow$ $\sqrt{2}\leq\sqrt{v_p+2}\leq\sqrt{4}$, donc $0\leq\sqrt{2}\leq v_{p+1}\leq 2$.
  La propriété a été donc transmise au rang $p+1$.
• Conclusion: Pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $0\leq v_n\leq 2$.

Exercices.

• Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=0$ et pour tout entier $n\geq 0$, $v_{n+1}=\sqrt{v_n+2}$.
  Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $0\leq v_n\leq 2$.
  
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• On pose $S_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ où $n$ est un entier naturel $n\geq 1$.
  • Exprimer $S_{n+1}$ en fonction de $S_n$.
  • Démontrer par récurrence que pour tout $n\leq 1$, on a:
    $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
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• $S_{n+1}=1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2$ $=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(n+1)^2$ $=S_n+(n+1)^2$ pour tout $n\geq 1$ .
• Initialisation:Si $n=0$ on a d'un coté $S_1=1^2=1$ et de l'autre $\dfrac{1\times(1+1)\times(2\times 1+1)}{6}=\dfrac{2\times 3}{6}=1$.
  Donc on a $S_1=\dfrac{1\times(1+1)\times(2\times 1+1)}{6}$
• Transmission:Supposons qu'il existe un entier $p\in\mathbb{N}$ tel que $S_p=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6}$.
  $S_{p+1}=S_p+(p+1)^2$ d'aprés la question 1) et nous savons par hypothèse que $S_p=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6}$.
  Donc $S_p=\dfrac{p(p+1)(2p+1)}{6}+(p+1)^2$ $=(p+1)\Bigg[\dfrac{p(2p+1)}{6}+(p+1)\Bigg]$ $=(p+1)\Bigg[\dfrac{p(2p+1)}{6}+\dfrac{6(p+1)}{6}\Bigg]$ $=(p+1)\Bigg[\dfrac{2p^2+7p+6}{6}\Bigg]$.
  Remarquons que nous avons l'égalité $2p^2+7p+6=(p+2)(2p+3)$.
  Donc nous avons $S_{p+1}=(p+1)\Bigg[\dfrac{2p^2+7p+6}{6}\Bigg]$ $=(p+1)\times\dfrac{(p+2)(2p+3)}{6}$ $=\dfrac{(p+1)(p+2)(2p+3)}{6}$.
  Nous avons donc $S_{p+1}=\dfrac{(p+1)((p+1)+1)(2(p+1)+1)}{6}$, La propriété a été donc transmise au rang $p+1$.
• Conclusion: Pour tout $n\geq 1$ on a $S_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ $=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.