Limite d'une suite.
Limite infinie d'une suite.
Définition.
- Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Notation: On note le fait que la suite $(u_n)$ ait pour limite $+\infty$ par: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$. - Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Notation: On note le fait que la suite $(u_n)$ ait pour limite $-\infty$ par: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty$.
Remarque.
si une suite $(v_n)$ a pour limite $+\infty$ ou $-\infty$, on dit que cette suite diverge, ou qu'elle est divergeante.
Exemples.
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n=+\infty$- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{n^2}=+\infty$
- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\sqrt{n}}=\infty$
- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{-\sqrt{n}}=-\infty$
- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{n^3}=+\infty$
- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}-n^5=-\infty$
- Montrons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{n^2}=+\infty$.
Soit $A>0$ (aussi grand que l'on veut) $n^2>A$ $\Leftrightarrow$ $n>\sqrt{A}$, posons $n_0$ le plus petit des entiers supérieur ou égal à $\sqrt{A}$.
Si $n\geq n_0$ alors $n^2>A$. Donc nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{n^2}=+\infty$. - Montrons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\sqrt{n}}=+\infty$.
Soit $A>0$ (aussi grand que l'on veut) $\sqrt{n}>A$ $\Leftrightarrow$ $n>A^2$, posons $n_0$ le plus petit des entiers supérieur ou égal à $A^2$.
Si $n\geq n_0$ alors $\sqrt{n}>A$. Donc nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}=+\infty$. - Il est clair que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{\sqrt{n}}=\infty$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{-\sqrt{n}}=-\infty$.
- Montrons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{n^3}=+\infty$.
Soit $A>0$ (aussi grand que l'on veut) $n^3>A$ $\Leftrightarrow$ $n>\sqrt[3]{A}$, posons $n_0$ le plus petit des entiers supérieur ou égal à $\sqrt[3]{A}$.
Si $n\geq n_0$ alors $n^3>A$. Donc nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{n^3}=+\infty$.
Activité: recherche de seuils, cas des limites infinies.
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\dfrac{2}{3}n+7$.- Résoudre l'inéquation $\dfrac{2}{3}n+7\geq 100$. A partir de quel indice a-t-on $u_n\geq 100$?
- Résoudre l'inéquation $\dfrac{2}{3}n+7\geq 10000$. A partir de quel indice a-t-on $u_n\geq 10000$?
- Soit $A>0$, a partir de quel indice a-t-on $u_n\geq A$? En déduire la limite de $(u_n)$.
- Que fait cet algorithme?
- Quelle valeur retourne t-il?
- $\dfrac{2}{3}n+7\geq 100$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{3}n\geq 93$ $\Leftrightarrow$ $n\geq \dfrac{3}{2}\times 93\approx 139,5$.
Conclusion: Ici le seuil $n_0$ est égal à 140. En effet nous avons la propriété suivante:
Pour tout entier $n$ tels que, $n\geq n_0=140$, alors $u_n\geq 100$. - $\dfrac{2}{3}n+7\geq 10000$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{3}n\geq 9993$ $\Leftrightarrow$ $n\geq \dfrac{3}{2}\times 9993\approx 14989,5$.
Conclusion: Ici le seuil $n_0$ est égal à 14990. En effet nous avons la propriété suivante:
Pour $n\geq n_0=14990$, alors $u_n\geq 10000$. - $\dfrac{2}{3}n+7\geq A$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{3}n\geq A-7$ $\Leftrightarrow$ $n\geq \dfrac{3}{2}\times (A-7)$.
La fonction qui donne la partie entiére d'un nombre est la fonction $x\to E(x)$. Posons $n_0=E\bigg(\dfrac{3(A-7)}{2}\bigg)+1$.
Conclusion: Ici le seuil $n_0$ est égal à $E\bigg(\dfrac{3(A-7)}{2}\bigg)+1$. En effet nous avons la propriété suinante:
Pour tout entier $n$ tels que, $n\geq n_0=E\bigg(\dfrac{3(A-7)}{2}\bigg)+1$, alors $u_n\geq A$. Nous venons de démontrer que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$. - Algorithmique
- Cet algorithme en langage Python, permet de trouver le plus petit entier $n_0$, vérifiant la propriété:
$n\geq n_0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{2}{3}n+7\geq 1000$. - $\dfrac{2}{3}n+7\geq 1000$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{3}n\geq 993$ $\Leftrightarrow$ $n\geq \dfrac{3}{2}\times 993\approx 1489,5$.
Conclusion: Ici le seuil $n_0$ est égal à 1490.
- Cet algorithme en langage Python, permet de trouver le plus petit entier $n_0$, vérifiant la propriété:
- Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
limite finie d'une suite.
- Dire que le réel $l$ est limite d'une suite $(u_n)$ ou que $(u_n)$ converge vers $l$, signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note le fait que la suite ait pour limite $l$, par: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=l$.
- Autrement dit, pour tout réel $\epsilon>0$ (aussi petit que l'on veut), il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a:
$l-\epsilon < u_n < l+\epsilon$. - $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}=0$
- $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0$
- $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$
- $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}2+\frac{1}{n^3}=2$
- $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n}=1$
- $-\epsilon <\dfrac{1}{n} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\bigg|\dfrac{1}{n}\bigg| <\epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{n} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $n>\dfrac{1}{\epsilon}$.
Donc en prenant comme valeur de $n_0$ le premier entier strictement supérieur à $\dfrac{1}{\epsilon}$ c'est à dire posons, $n_0=E(\dfrac{1}{\epsilon})+1$, on a:
Pour tout $n\geq n_0$, alors $\dfrac{1}{n} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $-\epsilon <\dfrac{1}{n} < \epsilon$. - $-\epsilon <\dfrac{1}{n^2} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\bigg|\dfrac{1}{n^2}\bigg| <\epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{n^2} < \epsilon$
$\Leftrightarrow$ $n^2>\dfrac{1}{\epsilon}$ $\Leftrightarrow$ $n>\sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}}=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}}$.
Donc en prenant comme valeur de $n_0$ le premier entier strictement supérieur à $\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}}$ c'est à dire posons, $n_0=E(\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon}})+1$, on a:
Pour tout $n\geq n_0$, alors $\dfrac{1}{n^2} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $-\epsilon <\dfrac{1}{n^2} < \epsilon$. - $-\epsilon <\dfrac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\bigg|\dfrac{1}{\sqrt{n}}\bigg| <\epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{n}>\dfrac{1}{\epsilon}$
$\Leftrightarrow$ $n>\dfrac{1}{\epsilon^2}$.
Donc en prenant comme valeur de $n_0$ le premier entier strictement supérieur à $\dfrac{1}{\epsilon^2}$ c'est à dire posons, $n_0=E(\dfrac{1}{\epsilon^2})+1$, on a:
Pour tout $n\geq n_0$, alors $\dfrac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon$ $\Leftrightarrow$ $-\epsilon <\dfrac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon$. - Résoudre l'inéquation $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,05$. A partir de quel indice a-t-on $u_n\leq 3,05$?
- Résoudre l'inéquation $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,0005$. A partir de quel indice a-t-on $u_n\leq 3,0005$?
- Soit $\epsilon>0$, a partir de quel indice a-t-on $3-\epsilon\leq u_n\leq 3+\epsilon$? En déduire la limite de $(u_n)$.
- Que fait cet algorithme?
- Quelle valeur retourne t-il?
- $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,05$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{n}\leq 0,05$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{n}\leq 0,025$ $\Leftrightarrow$ $n\geq \dfrac{1}{0.025}=40$.
Conclusion: Ici le seuil $n_0$ est égal à 140. En effet nous avons la propriété suivante:
Pour tout entier $n$ tels que, $n\geq n_0=40$, alors $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,05$. - $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,0005$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{n}\leq 0,0005$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{n}\leq 0,00025$ $\Leftrightarrow$ $n\geq \dfrac{1}{0.00025}=4000$.
Conclusion: Ici le seuil $n_0$ est égal à 4000. En effet nous avons la propriété suivante:
Pour tout entier $n$ tels que, $n\geq n_0=4000$, alors $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,0005$. - $3-\epsilon\leq\dfrac{2}{n}+3\leq 3+\epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{n}+3\leq 3+\epsilon$, en effet pour tout $n\mathbb{n}$ on a $3-\epsilon\leq\dfrac{2}{n}+3$.
$\dfrac{2}{n}+3\leq 3+\epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{n}\leq\epsilon$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\epsilon}{2}$ $\Leftrightarrow$ $n\geq\dfrac{2}{\epsilon}$.
Donc en prenant comme valeur de $n_0$ le premier entier strictement supérieur à $\dfrac{2}{\epsilon}$ c'est à dire posons, $n_0=E(\dfrac{1}{\epsilon})+1$, on a:
Pour tout $n\geq n_0=E(\dfrac{1}{\epsilon})+1$, alors $3-\epsilon\leq\dfrac{2}{n}+3\leq 3+\epsilon$.
Nous en déduisons que, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=3$. - Algorithmique
- Cet algorithme en langage Python, permet de trouver le plus petit entier $n_0$, vérifiant la propriété:
$n\geq n_0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,001$. - $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,001$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{2}{n}\leq 0,001$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{n}\leq 0,0005$ $\Leftrightarrow$ $n\geq \dfrac{1}{0.0005}=2000$.
Conclusion: Ici le seuil $n_0$ est égal à 2000. En effet nous avons la propriété suivante:
Pour tout entier $n$ tels que, $n\geq n_0=2000$, alors $\dfrac{2}{n}+3\leq 3,001$.
- Cet algorithme en langage Python, permet de trouver le plus petit entier $n_0$, vérifiant la propriété:
- si $|q| < 1$} ie ($-1 < q < 1$) alors $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}q^n=0$.
- Si $q>1$ alors $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}q^n=+\infty$.
- Si $q\leq-1$ la suite $(u_n)$ n'a pas de limite.
- $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\frac{1}{2})^n=0$ et $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\frac{-1}{3})^n=0$.
- $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(3)^n=+\infty$ et $\displaystyle\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(1,2)^n=+\infty$.
- La suite $((-1)^n)_{n\in\mathbb{N}}$ n'a pas de limite.
Opérations sur les limites.
- Soient deux suites $u_n=n^2$ et $v_n=3n$ définies sur $\mathbb{N}$. Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n-v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2-3n$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\infty-\infty$.
- Méthode 1: factorisons par le plus haut degré ici $n^2$. On a $n^2-3n=n^2(1-\dfrac{3}{n})$, pour tout $n>0$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(1-\dfrac{3}{n})=1$, donc d'aprés le tableau sur les limites d'un produit de suites, on a: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^2(1-\dfrac{3}{n})=+\infty$. - Méthode 2: On pourrait ici simplifier simplement par $n$. On a $n^2-3n=n(n-3)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n-3)=+\infty$, donc d'aprés le tableau sur les limites d'un produit de suites, on a: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n(n-3)=+\infty$.
- Méthode 1: factorisons par le plus haut degré ici $n^2$. On a $n^2-3n=n^2(1-\dfrac{3}{n})$, pour tout $n>0$.
- Soient deux suites $u_n=n^2$ et $v_n=n^3$ définies sur $\mathbb{N}$. Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n-v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2-n^3$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\infty-\infty$.
- Méthode 1: factorisons par le plus haut degré ici $n^3$. On a $n^2-n^3=n^3(\dfrac{1}{n}-1)$, pour tout $n>0$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^3=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n}-1)=-1$, donc d'aprés le tableau sur les limites d'un produit de suites, on a: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^3(\dfrac{1}{n}-1)=-\infty$. - Méthode 2: On pourrait ici simplifier simplement par $n^2$. On a $n^2-n^3=n^2(1-n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(1-n)=-\infty$, donc d'aprés le tableau sur les limites d'un produit de suites, on a: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^2(1-n)=-\infty$.
- Méthode 1: factorisons par le plus haut degré ici $n^3$. On a $n^2-n^3=n^3(\dfrac{1}{n}-1)$, pour tout $n>0$.
- Soient deux suites $u_n=n^4$ et $v_n=4n^3$ définies sur $\mathbb{N}$. Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n-v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^4-5n^3$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\infty-\infty$.
- Méthode 1: factorisons par le plus haut degré ici $n^4$. On a $n^4-5n^3=n^4(1-\dfrac{5}{n})$, pour tout $n>0$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^4=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(1-\dfrac{5}{n})=1$, donc d'aprés le tableau sur les limites d'un produit de suites, on a: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^4(1-\dfrac{5}{n})=+\infty$. - Méthode 2: On pourrait ici simplifier simplement par $n^3$. On a $n^4-5n^3=n^3(n-5)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^4=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n-5)=+\infty$, donc d'aprés le tableau sur les limites d'un produit de suites, on a: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^4(n-5)=+\infty$.
- Méthode 1: factorisons par le plus haut degré ici $n^4$. On a $n^4-5n^3=n^4(1-\dfrac{5}{n})$, pour tout $n>0$.
- Soit $u_n=\dfrac{1}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=n^3+3n+5$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n^2})(n^3+3n+5)$.
Nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n^2})=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n^3+3n+5)=+\infty$. Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $0\times\infty$.
Développons $u_n\times v_n=\dfrac{1}{n^2}\times n^3+3n\times\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{5}{n^2}$ $=n+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^2}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^2}=0+0=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n=+\infty$, donc par addition des limites on obtient que:
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^2}=+\infty$. - Soit $u_n=\dfrac{1}{n^3}$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=n^3+3n^2$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n^3})(n^3+3n^2)$.
Nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n^3})=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n^3+3n^2)=+\infty$. Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $0\times\infty$.
Développons $u_n\times v_n=\dfrac{1}{n^3}\times n^3+3n^2\times\dfrac{1}{n^3}$ $=1+\dfrac{3}{n}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{3}{n}=0$ , donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(1+\dfrac{3}{n})=1$.
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=1$. - Soit $u_n=\dfrac{3}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=n-2$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{3}{n^2})(n-2)$.
Nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{3}{n^2})=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n-2)=+\infty$. Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $0\times\infty$.
Développons $u_n\times v_n=\dfrac{3}{n^2}\times (n-2)$ $=\dfrac{3}{n}-\dfrac{6}{n^2}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{3}{n}=0$, et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{6}{n^2}=0$.
Donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=0-0=0$. Cas ou $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n\not=0$.
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$ $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ ou $-\infty$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n$ $l'\not=0$ $+\infty$ ou $-\infty$ $l'>0$ $l' < 0$ $l'>0$ $l' < 0$ $+\infty$ ou $-\infty$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(\dfrac{u_n}{v_n}\bigg)$ $\dfrac{l}{l'}$ 0 $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ forme indéterminée Cas ou $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=0$.
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$ $l>0$ ou $+\infty$ $l>0$ ou $+\infty$ $l < 0$ ou $-\infty$ $l < 0$ ou $-\infty$ 0 $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n$ 0 en restant positive 0 en restant négative 0 en restant positive 0 en restant négative 0 $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(\dfrac{u_n}{v_n}\bigg)$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ forme indéterminée - Soit $u_n=2n^2+n$ et $v_n=5n+3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2n^2+n)}{(5n+3)}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(2n^2+n)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(5n+3)=+\infty$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$.
Pour tout $n>0$, on a: $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{(2n^2+n)}{(5n+3)}$ $=\dfrac{n(2n+1)}{n(5+\dfrac{3}{n})}$ $=\dfrac{(2n+1)}{(5+\dfrac{3}{n})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(2n+1)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(5+\dfrac{3}{n})=5$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2n^2+n)}{(5n+3)}$ $=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2n+1)}{(5+\dfrac{3}{n})}=+\infty$. - Soit $u_n=n^2+n$ et $v_n=5n^2+3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(n^2+n)}{(5n^2+3)}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n^2+n)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(5n^2+3)=+\infty$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$.
Pour tout $n>0$, on a: $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{(n^2+n)}{(5n^2+3)}$ $=\dfrac{n^2(1+\dfrac{1}{n})}{n^2(5+\dfrac{3}{n^2})}$ $=\dfrac{(1+\dfrac{1}{n})}{(5+\dfrac{3}{n^2})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(1+\dfrac{1}{n})=1$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(5+\dfrac{3}{n^2})=5$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(n^2+n)}{(5n^2+3)}$ $=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(1+\dfrac{1}{n})}{(5+\dfrac{3}{n^2})}=\dfrac{1}{5}$. - Soit $u_n=n^2$ et $v_n=n^3+3n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2}{(n^3+3n)}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n^3+3n)=+\infty$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$.
Pour tout $n>0$, on a: $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{n^2}{(n^3+3n)}$ $=\dfrac{n^2}{n^2(n+\dfrac{3}{n})}$ $=\dfrac{1}{(n+\dfrac{3}{n})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n+\dfrac{3}{n})=+\infty$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que:$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2}{(n^3+3n)}$ $=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{(n+\dfrac{3}{n})}=0$. - Soit $u_n=n+2$ et $v_n=\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}$ pour tout $n>0$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(n+2)}{\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n+2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}=0$. De plus pour tout $n>0$, il est clair que $\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}>0$, donc la suite $(v_n)$ converge vers 0 tout en restant positive, on note cela:
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}=0^+$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(n+2)}{\dfrac{5}{n}+\dfrac{3}{n^2}}=+\infty$. - Soit $u_n=2+\dfrac{1}{n}$ et $v_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}$ pour tout $n>0$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2+\dfrac{1}{n})}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 2+\dfrac{1}{n}=2$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}=0$. De plus pour tout $n>0$, il est clair que $\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}>0$, donc la suite $(v_n)$ converge vers 0 tout en restant positive, on note cela:
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}=0^+$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2+\dfrac{1}{n})}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}=+\infty$. - Soit $u_n=\dfrac{1}{n}$ et $v_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}$ pour tout $n>0$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (\dfrac{1}{n})=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})=0$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\dfrac{0}{0}$.
Pour tout $n>0$ simplifions le quotient par $\dfrac{1}{n}$, on a: $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\dfrac{1}{n}}{(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})}$ $=\dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}\times(1+\dfrac{1}{n})}$ $=\dfrac{1}{(1+\dfrac{1}{n})}$ pour tout $n>0$.
Nous savons que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(1+\dfrac{1}{n})=1$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}}{(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})}$ $=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{(1+\dfrac{1}{n})}=\dfrac{1}{1}=1$. - Soit $u_n=\dfrac{2}{n^3}$ et $v_n=\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}$ pour tout $n>0$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\dfrac{2}{n^3}}{\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (\dfrac{2}{n^3})=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2})=0$.
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de la forme $\dfrac{0}{0}$.
Pour tout $n>0$ simplifions le quotient par $\dfrac{1}{n}$, on a: $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\dfrac{2}{n^3}}{(\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2})}$ $=\dfrac{\dfrac{1}{n}\times\dfrac{2}{n^2}}{\dfrac{1}{n}\times(3+\dfrac{1}{n})}$ $=\dfrac{\dfrac{2}{n^2}}{(3+\dfrac{1}{n})}$ pour tout $n>0$.
Nous savons que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(3+\dfrac{1}{n})=3$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2}{n^2}=0$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\dfrac{2}{n^3}}{(\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2})}$ $=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\dfrac{2}{n^2}}{(3+\dfrac{1}{n})}=\dfrac{0}{3}=0$. Limite d'une suite du type $u_n=f(n)$.
Limite d'une suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
Théorèmes de comparaison sur les limites de suites.
- Il existe un entier $p$ tel que pour tout $n\geq p$, on a: $u_n\leq v_n\leq w_n$.
- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=l$ $\Rightarrow$ Il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$; alors $l-\epsilon < u_n < l+\epsilon$.
- $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}w_n=l$ $\Rightarrow$ Il existe un entier $n_1$ tel que, pour tout $n\geq n_0$; alors $l-\epsilon < w_n < l+\epsilon$.
- Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites. Si pour tout entier $n$ supérieur à un certain rang $p$, on a $v_n\leq u_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
- Si pour tout entier $n$ supérieur à un certain rang $p$, on a $u_n\leq v_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=-\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty$.
- Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$, par $u_n=\dfrac{n^2-\cos(n)}{n}$. Etudier la limite de la suite $(u_n)$.
- Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$, par $v_n=2(-1)^n-n^2$. Etudier la limite de la suite $(v_n)$.
- Nous savons qu'il existe un entier $p$ tel que: pour tout $n\geq p$, on a $v_n\leq u_n$.
Soit $A>0$ (aussi grand que l'on veut), puisque $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, alors $v_n\geq A$.
Posons $N=max(p;n_0)$, dés que $n\geq N$ les deux propriétés précédentes sont vérifiées. Donc pour tout $n\geq N$, on a $u_n\geq v_n$ et $v_n\geq A$, donc $u_n\geq v_n\geq A$.
Donc pour tout $n\geq N$, $u_n\geq A$, donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$. - Nous savons qu'il existe un entier $p$ tel que: pour tout $n\geq p$, on a $u_n\leq v_n$.
Soit $A < 0$ (aussi petit que l'on veut), puisque $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=-\infty$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, alors $v_n\leq A$.
Posons $N=max(p;n_0)$, dés que $n\geq N$ les deux propriétés précédentes sont vérifiées. Donc pour tout $n\geq N$, on a $u_n\leq v_n$ et $v_n\leq A$, donc $u_n\leq v_n\leq A$.
Donc pour tout $n\geq N$, $u_n\leq A$, donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty$. La suite $w_n=\cos(n)$, n'admet pas de limite, on ne peut donc pas utiliser les régles algébrique sur les limites.
Pour résoudre ce problème nous allons encadrer la suite $(u_n)$, afin de pouvoir utiliser le théorème de comparaison des limites.
Pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$, on a: $-1\leq\cos(n)\leq 1$ $\Leftrightarrow$ $n^2-1\leq\ n^2-\cos(n)\leq n^2+1$.
Puisque $n>0$, on a $\dfrac{n^2-1}{n}\leq\dfrac{n^2-\cos(n)}{n}\leq\dfrac{n^2+1}{n}$ $\Leftrightarrow$ $n-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{n^2-\cos(n)}{n}\leq\ n+\dfrac{1}{n}$.
Nous savons clairement que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(n-\dfrac{1}{n}\bigg)=+\infty$.
La seule inégalité qui est importante pour nous est: $\bigg(n-\dfrac{1}{n}\bigg)\leq\dfrac{n^2-\cos(n)}{n}$.
Donc d'après le théorème de comparaison des limites, on peut conclure que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2-\cos(n)}{n}=+\infty$.La suite $w_n=(-1)^n$, n'admet pas de limite, on ne peut donc pas utiliser les régles algébrique sur les limites.
Pour résoudre ce problème nous allons encadrer la suite $(u_n)$, afin de pouvoir utiliser le théorème de comparaison des limites.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a: $-1\leq (-1)^n \leq 1$ $\Leftrightarrow$ $-2\leq\ 2\times(-1)^2\leq 2$ $\Leftrightarrow$ $-2-n^2\leq 2(-1)^n-n^2 \leq\ 2-n^2$.
Nous savons clairement que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}2-n^2=-\infty$.
La seule inégalité qui est importante pour nous est: $2(-1)^n-n^2 \leq\ 2-n^2$.
Donc d'après le théorème de comparaison des limites, on peut conclure que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}2(-1)^n-n^2=-\infty$.Convergences des suites monotones.
- Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$.
- Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.
- Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Comme $(u_n)$ n'est pas majorée,
si on choisit un nombre réel $A>0$ (aussi grand que l'on veut), il existe un entier $n_0$ tel que, $u_{n_0}\geq A$.
Or $(u_n)$ est croissante donc $u_n\geq u_{n_0}$, pour tout $n\geq n_0$.
Donc pour tout $A>0$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$ on a $u_n\geq A$.
Donc, nous venons de démontrer que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$. - Soit $(u_n)$ une suite décroissante et non minorée. Comme $(u_n)$ n'est pas minorée,
si on choisit un nombre réel $A < 0$ (aussi petit que l'on veut), il existe un entier $n_0$ tel que, $u_{n_0}\leq A$.
Or $(u_n)$ est décroissante donc $u_n\leq u_{n_0}$, pour tout $n\geq n_0$.
Donc pour tout $A < 0$, il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$ on a $u_n\leq A$.
Donc, nous venons de démontrer que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty$. - Toute suite croissante majorée est convergente.
- Toute suite décroissante minorée est convergente.
- Faisons une démontration par récurrence.
- Initialisation: Si $n=0$ on a $u_0=5\geq 4$, la propriété est vraie au rang 0.
- Transmission: Supposons qu'il existe un entier $p\in\mathbb{N}$ tel que $u_p\geq 4$.
$u_p\geq 4$ $\Rightarrow$ $u_p+12\geq 16$, la fonction $x\to\sqrt{x}$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
Donc comme $u_p+12\geq 16$ $\Rightarrow$ $\sqrt{u_p+12}\geq\sqrt{16}$, donc $u_{p+1}\geq 4$.
La propriété a été donc transmise au rang $p+1$. - Conclusion: Pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $u_n\geq 4$.
- Montrons par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante, c'est à dire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_{n+1}-u_{n}\leq 0$.
- Initialisation: Si $n=0$ on a $u_1=\sqrt{17}\leq 5$, la propriété est vraie au rang 0.
- Transmission: Supposons qu'il existe un entier $p\in\mathbb{N}$ tel que $u_{p+1}-u_{p}\leq 0$.
$u_{p+2}-u_{p+1}=\sqrt{u_{p+1}+12}-\sqrt{u_p+12}$.
Nous savons que $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$, donc $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.
On a donc $\sqrt{u_{p+1}+12}-\sqrt{u_p+12}=\dfrac{u_{p+1}-u_{p}}{\sqrt{u_{p+1}+12}+\sqrt{u_p+12}}\leq 0$. Donc $u_{p+2}-u_{p+1}\leq 0$. La propriété a été donc transmise au rang $p+1$. - Conclusion: Pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $u_{n+1}-u_{n}\leq 0$.
La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par la valeur 4; donc la suite $(u_n)$ est convergente, notons $l$ la limite de la suite. - La suite $(u_n)$ est définie par récurrence, on a $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f(x)=\sqrt{x+12}$.
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[-12;+\infty[$, le nombre $l=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$ vérifie l'équation $l=f(l)$.
$l=f(l)$ $\Leftrightarrow$ $l=\sqrt{l+12}$ $\Leftrightarrow$ $l^2=l+12$ $\Leftrightarrow$ $l^2-l-12$.
Nous avons à faire à une équation du second degré. $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times (-12)=49>0$. L'équation admet deux solutions réelles $l_0=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $l_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Donc $l_0=\dfrac{1-7}{2}=-3$ et $l_1=\dfrac{1+7}{2}=4$, or pour tout Pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $u_n\geq 4$, donc $l=4$.
Conclusion: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=4$. - Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geq 4$.
- Montrer que la suite est décroissante. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
- Résoudre l'équation $f(l)=l$, en déduire $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$.
Définition.
Exemples.
-
Soit $\epsilon>0$.
Activité: recherche de seuils, cas des limites finies.
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$ par $u_n=\dfrac{2}{n}+3$.
Théorème.
Soit $q\in\mathbb{R}$,Exemples.
Limite d'une somme de suites.
| $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$ | $l$ | $l$ | $l$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n$ | $l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(u_n+v_n)$ | $l+l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | forme indéterminée. |
Soient $u_n=\dfrac{1}{n^2}+2$ et $v_n=-1+\dfrac{2}{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(u_n+v_n)=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n+\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n$
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2}{n}=0$; on en déduit que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=2$
et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=-1$.
Donc on a: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(u_n+v_n)=2+(-1)=1$.
Soit $u_n=n^2+[\dfrac{1}{n}+1]$ pour tout $n\geq 1$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}[\dfrac{1}{n}+1]=1$,
donc nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2+[\dfrac{1}{n}+1]=+\infty$.
Soit $v_n=-2n^2+[\dfrac{2}{n}+5]$ pour tout $n\geq 1$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -2n^2=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}[\dfrac{2}{n}+5]=5$,
donc nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -2n^2+[\dfrac{2}{n}+5]=-\infty$.
Soit $v_n=2n^2+5n$ pour tout $n\mathbb{N}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 2n^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 5n=+\infty$,
donc nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_n$ $=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 2n^2+5n=+\infty$.
Soit $w_n=-n^2-3n=(-n^2)+(-3n)$ pour tout $n\mathbb{N}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -n^2=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (-3n)=-\infty$,
donc nous avons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} w_n$ $=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -n^2-3n=-\infty$.
Voici quelques exemples de résolutions d'indéterminées du type $\infty-\infty$.
Limite d'un produit de suites.
| $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$ | l | $l < 0$ ou $-\infty$ | $l>0$ ou $+\infty$ | $l < 0$ ou $-\infty$ | $l>0$ ou $+\infty$ | 0 |
| $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n$ | l' | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ ou $+\infty$ |
| $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(u_n\times v_n)$ | $l \times l'$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | forme indéterminée. |
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n^2}+2)(-1+\dfrac{2}{n})$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2}{n}=0$; on en déduit que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=2$
et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=-1$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du produit des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n^2}+2)(-1+\dfrac{2}{n})=2\times(-1)=-2$.
Soit $u_n=-2+\dfrac{1}{n^3}$ et $v_n=n+3$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$,
calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-2+\dfrac{1}{n^3})(n+3)$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-2+\dfrac{1}{n^3})=-2$ et on a
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n+3)=+\infty$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du produit des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-2+\dfrac{1}{n^3})(n+3)=-\infty$.
Soit $u_n=3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^3}$ et $v_n=5n^2-6$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$,
calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^3})(5n^2-6)$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n^3}=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^3})=3$ et on a
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(5n^2-6)=+\infty$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du produit des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^3})(5n^2-6)=+\infty$.
Soit $u_n=-2+\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^n$ et $v_n=-2n+5$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$,
calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(-2+\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^n\bigg)(-2n+5)$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^n=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(-2+\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^n\bigg)=-2$ et on a
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-2n+5)=-\infty$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du produit des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(-2+\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^n\bigg)(-2n+5)=+\infty$.
Soit $u_n=3+\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^n$ et $v_n=-n+5$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$,
calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\times v_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(3+\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^n\bigg)(-n+5)$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^n=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(3+\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^n\bigg)=3$ et on a
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-n+5)=-\infty$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du produit des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(3+\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^n\bigg)(-n+5)=-\infty$.
Limite d'un quotient de suites.
Soit $u_n=(2+\dfrac{1}{n^3})$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=(3-\dfrac{2}{n})$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2+\dfrac{1}{n^3})}{(3-\dfrac{2}{n})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(2+\dfrac{1}{n^3})=2$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(3-\dfrac{2}{n})=3$;
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2+\dfrac{1}{n^3})}{(3-\dfrac{2}{n})}=\dfrac{2}{3}$.
Soit $u_n=(-2+\dfrac{3}{n^2})$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=(n+5)$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(-2+\dfrac{3}{n^2})}{(n+5)}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-2+\dfrac{3}{n^2})=-2$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n+5)=+\infty$;
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(-2+\dfrac{3}{n^2})}{(n+5)}=0$.
Soit $u_n=(n+\dfrac{3}{n})$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=(5+\dfrac{2}{n^2})$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(n+\dfrac{3}{n})}{(5+\dfrac{2}{n^2})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n+\dfrac{3}{n})=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(5+\dfrac{2}{n^2})=5$;
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(n+\dfrac{3}{n})}{(5+\dfrac{2}{n^2})}=+\infty$.
Soit $u_n=(2n-\dfrac{3}{n})$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=(-3+\dfrac{2}{n^2})$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2n-\dfrac{3}{n})}{(-3+\dfrac{2}{n^2})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(2n-\dfrac{3}{n})=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-3+\dfrac{2}{n^2})=-3$;
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(2n-\dfrac{3}{n})}{(-3+\dfrac{2}{n^2})}=-\infty$.
Soit $u_n=-n^2$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=(6+\dfrac{1}{n^2})$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{-n^2}{(6+\dfrac{1}{n^2})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-n^2)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(6+\dfrac{1}{n^2})=6$;
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{-n^2}{(6+\dfrac{1}{n^2})}=-\infty$.
Soit $u_n=-n^2$ pour tout $n\geq 1$, et soit $v_n=(-6+\dfrac{1}{n^2})$ pour tout $n\geq 1$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{-n^2}{(-6+\dfrac{1}{n^2})}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-n^2)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-6+\dfrac{1}{n^2})=-6$;
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{-n^2}{(-6+\dfrac{1}{n^2})}=+\infty$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(3+\dfrac{1}{n})}{-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 3+\dfrac{1}{n}=3$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2})=0$. De plus pour tout $n>0$, il est clair que $-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2} < 0$, donc la suite $(v_n)$ converge vers 0 tout en restant négative, on note cela:
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2})=0^-$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(3+\dfrac{1}{n})}{(-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2})}=-\infty$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(-1+\dfrac{1}{n})}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (-1+\dfrac{1}{n})=-1$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})=0$. De plus pour tout $n>0$, il est clair que $\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}>0$, donc la suite $(v_n)$ converge vers 0 tout en restant négative, on note cela:
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})=0^+$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(-1+\dfrac{1}{n})}{(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})}=-\infty$.
Calculons $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(-1+\dfrac{1}{n})}{-\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^3}}$.
Nous savons que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} (-1+\dfrac{1}{n})=-1$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(-\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^3})=0$. De plus pour tout $n>0$, il est clair que $-\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n^3} < 0$, donc la suite $(v_n)$ converge vers 0 tout en restant négative, on note cela:
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})=0^-$.
On en déduit grâce aux propriétés opératoires du quotient des limites que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{(-1+\dfrac{1}{n})}{(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})}=+\infty$.
Théorème.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]b;+\infty[$ ou $[b;+\infty[$, et soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=f(n)$. Ici l désigne soit un nombre réel, soit $+\infty$, soit $-\infty$.
Si $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=l$ alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=l$.
Exemples.
Théorème (admis).
Soit une suite $(u_n)$ définie par récurrence,( c'est à dire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ $u_{n+1}=f(u_n)$).
Si la fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert contenant $l$, et si $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=l$, alors on a:
$l=f(l)$.
Théorème d'encadrement.
Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ trois suites, et soit $l$ un nombre réel, supposons que pour tout entier $n$ supérieur à un certain rang $p$, on a: $u_n\leq v_n\leq w_n$.
Si $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}w_n=l$, alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=l$.
Donc pour tout $n\geq N$, on a $l-\epsilon < u_n\leq v_n\leq w_n < l+\epsilon$, donc pour tout $n\geq N$, on a $l-\epsilon < v_n < l+\epsilon$, ce qui veut dire que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=l$.
Exercice:
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$, par $u_n=\dfrac{\cos(n)}{n}$. Etudier la limite de la suite (u_n).
La suite $w_n=\cos(n)$, n'admet pas de limites, on ne peut donc pas utiliser les régles algébrique sur les limites.
Pour résoudre ce problème nous allons encadrer la suite $(u_n)$, afin de pouvoir utiliser le théorème d'encadrement des limites, plus usuellement appélé, théorème des gendarmes.Pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$, on a: $-1\leq\cos(n)\leq 1$.
Puisque $n>0$, on a $-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\cos(n)}{n}\leq\dfrac{1}{n}$.
Nous savons clairement que: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\bigg(-\dfrac{1}{n}\bigg)=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0$.
Donc d'après le théorème d'encadrement des limites, on peut conclure que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{\cos(n)}{n}=0$.
Théorème de comparaison.
Exercices.
Théorème.
Théorème (admis).
Exercice.
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Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=5$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}$.