Une variable aléatoire est dite positive ou nulle dans une univers $\Omega$, lorsque toutes les valeeurs prises par celle-ci sont des réél positifs ou nuls.
Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive ou nulle d'espérance $E(X)$.
Alors, pour tout réel $a$ strictement positif, on a:
$P(X\geq a)\leq\dfrac{E(X)}{a}$.
Cette égalité est appelé l'inégalité de Markov..
Soit $X$ une variable positive ou nulle sur $\omega=\{\omega_1;...;\omega_n\}$ acec $X(\omega_i)=x_i\geq 0$ pour tout $i\in\{1;...,n\}$.
Nous savons que $E(X)=\sum_{j=1}^n x_j\times P(X=x_j)$. Calculons cette somme en deux blocs en considérant les $x_i$ supérieur ou égal au réel $a$ et
les $x_i$ strictement inférieur à $a$.
$E(X)=\displaystyle\sum_{x_i\geq a} x_i\times P(X=x_j)+\displaystyle\sum_{x_i < a}x_i\times P(X=x_i)$
Pour tout $i\in\{1;...;n\}$ on a $x_i\geq 0$ et $P(X=x_i)\geq 0$, donc $\displaystyle\sum_{x_i < a}x_i\times P(X=x_i)\geq 0$.
On en déduit que $E(X)\geq \displaystyle\sum_{x_i\geq a} x_i\times P(X=x_i)\geq\displaystyle\sum_{x_i\geq a} a\times P(X=x_i)$, donc on a
$E(X)\geq a\times\bigg(\displaystyle\sum_{x_i\geq a} P(X=x_i)\bigg)$ $=a\times P(X\geq a)$.
Puisque $a>0$, on a $P(X\geq a)\leq\dfrac{E(X)}{a}$.
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$.
On pose $M_n=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{n}X_i$, la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ de $X$, où les variables $X_i$ sont indépendantes et de même loi de probabilité que $X$.
Alors pour tout réel $a$ strictement positif, nous avons l'inégalité:
$P\bigg(|M_n-E(X)|\geq a\bigg)\leq\dfrac{V(X)}{na^2}$.
Cette inégalité est appelée L'inégalité de concentration.
Soit $(X_n)$ un échantillon d'une variable aléatoire.
On pose $M_n=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{n}X_i$.
Alors, pour tout réel $a$ strictement positif, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}P\bigg(|M_n-E(X)|\geq a\bigg)=0$.
Nous savons d'après l'inégalité de concentration que:
$0\leq P\bigg((M_n-E(X))\geq a\bigg)\leq\dfrac{V(X)}{na^2}$, de plus $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{V(X)}{na^2}=0$.
On en déduit que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}P\bigg(|M_n-E(X)|\geq a\bigg)=0$.