Produit scalaire dans l'espace et applications.
Définition et différentes expressions du produit scalaire dans l'espace.
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}\geq 0$.
- $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ implique $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.
- $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||2\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[4\times ||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]$ $=||\overrightarrow{u}||^2\geq 0$.
- Grâce au rôle symétrique des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, supposons que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
Nous avons donc $\overrightarrow{0}.\overrightarrow{v}$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{0}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{0}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]=0$. Autres expressions du produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.
Expression analytique.
Soit $\mathcal{R}=(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormé, et soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(x;y;z)$ et $(x';y';z')$ dans $\mathcal{R}$, alors on a: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'.$
Rappel:
Dans un repére orthonormé, nous savons que si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\ \end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ (théorème de Pythagore).
Donc si $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\ \end{pmatrix}$, nous avons
$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2\bigg]$ $\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)\bigg]$ $=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[2xx'+2yy'+2zz'\bigg]=xx'+yy'+zz'$.
Expression en fonction de l'angle $(\vec{u},\vec{v})$.
- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls, alors on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. - Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts deux à deux, nous avons
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$.
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de même sens alors nous savons que $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}=0~~[2\pi]$, donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(0)$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||$.
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de sens contraire alors nous savons que $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\pi~~[2\pi]$, donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ $=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\pi)$ $=-||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||$.
Corollaire.
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de même sens, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||.$
- Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de sens contraire, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||.$
Soient $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$, en utilisant la relation de Chasles nous avons $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}$, donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC})$.
Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}$ (voir propriétés algébriques).
Or nous savons que $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{HB})=\dfrac{\pi}{2}~~[2\pi]$.
Nous en déduisons que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{HC}||\times\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$, donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$.
Projection orthogonale.
Soient les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et soient $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$ alors on a: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}.$
- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls, alors on a:
Propriétés algébriques du produit scalaire.
Munissons nous d'un repère $\mathcal{R}=(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ orthonormé, ce qui est toujours possible.
- Propriété déjà démontrée sans les coordonnées et évidente avec les coordonnées.
- Soit $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et deux vecteurs $\overrightarrow{w}$ de coordonnées respectives $(x;y;z)$, $(x';y';z')$ et $(x'';y'';z'')$ dans $\mathcal{R}$
$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ $=x(x'+x'')+y(y'+y'')+z(z'+z'')=(xx'+yy'+zz')+(xx''+yy''+zz'')$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$. - $(a\overrightarrow{u}).(b\overrightarrow{v})=(ax)(bx')+(ay)(by')+(az)(bz')$ $=ab(xx'+yy'+zz')$ $=ab(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$.
Théorème.
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a:
- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.
- $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}.$
- $(a\overrightarrow{u}).(b\overrightarrow{v})=ab(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}).$
Produit scalaire, distance et orthogonalité.
- $\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=AB^2$.
- $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$.
- $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2=\overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2=\overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2$.
- Les deux premiéres formules sont évidentes.
- $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2$ $=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2$ $=(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}^2$.
- $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ $=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}$ $=||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2$.
- Supposons que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux, il y a trois ca possibles:
- $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
- $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
- $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{2}~~[2\pi]$, donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$.
- Inversement supposons $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$, donc nous avons
$||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$, il y a aussi trois cas possibles:- $||\overrightarrow{u}||=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$, donc par convention $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux.
- $||\overrightarrow{v}||=0$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, donc par convention $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux.
- $\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$ $\Rightarrow$ $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{2}~~[\pi]$,
donc les droite dirigée par les vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonales.
Donc les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
Vecteur normal à un plan.
- Supposons $\overrightarrow{n}$ est normal à $\mathcal{P}$, donc pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $\mathcal{P}$, nous avons $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$. Donc il existe en particulier deux vecteurs non nuls et non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0$.
- Réciproquement, supposons qu'il existe deux vecteurs non nuls et non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0$.
Puisque les deux vecteur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non nuls et non colinéaires, ils forment une base du plan $\mathcal{P}$.
Donc tout vecteur $\overrightarrow{w}$ du plan $\mathcal{P}$ peuvent s'écrire sous la forme $\overrightarrow{w}=x\times\overrightarrow{u}+y\times\overrightarrow{v}$.
$\overrightarrow{w}.\overrightarrow{n}$ $=(x\times\overrightarrow{u}+y\times\overrightarrow{v}).\overrightarrow{n}$ $=x\times\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}+y\times\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}=x\times 0+y\times 0=0$.
Donc pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ du plan $\mathcal{P}$, nous avons $\overrightarrow{w}.\overrightarrow{n}=0$. - Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ dont la direction est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. C'est à dire que la droite dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonale à toute droite du plan $\mathcal{P}$
- Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $\mathcal{P}$, nous avons $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$.
- Remarque: si $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal de $\mathcal{P}$ alors pour tout réel $\lambda$, le vecteur $\lambda\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$.
Définition.
Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan, le nombre réel égal à:
$\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg]$ est appelé produit scalaire
des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on le note $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\displaystyle\frac{1}{2}\bigg[||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\bigg].$
Remarque
On remarque que la définition du produit scalaire dans l'espace est la définition du produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ dans la plan définie par les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (cours de première).
Premières propriétés découlant de la définition.
Proposition.
Produit scalaire et orthogonalité.
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls. Dire que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux signifie que, si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.\newline Par convention le vecteur $\overrightarrow{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Théorème.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.Nous voulons démontrer l'assertion suivante:
$\overrightarrow{n}$ est normal à $\mathcal{P}$ $\Leftrightarrow$ Il Il existe deux vecteurs
non nuls et non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0$.
Définition.
Théorème.
Un vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $\mathcal{P}$ $\Leftrightarrow$ Il existe deux vecteurs non nuls et non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0$.
