Suites de matrices colonnes, problèmes d'évolutions.

Suites de matrices de la forme $U_{n+1}=Au_n+B$.

Définition.

Une suite de matrices colonnes de taille $p$($p\geq 2$) est une fonction de $\mathbb{N}$ dans l'ensemble des matrices colonnes de taille $p$.
Une suite de matrices lignes de taille $p$($p\geq 2$) est une fonction de $\mathbb{N}$ dans l'ensemble des matrices lignes de taille $p$.
Exemples.
- $u_n=\begin{pmatrix} n\\(-1)^n\\ \dfrac{2}{n+1}\end{pmatrix}$ pour tout $n\geq 1$. la suite $(u_n)$ est une suite de matrices colonnes de taille $(3\times 1)$.
- $v_n=\begin{pmatrix} n&(-1)^n& \dfrac{2}{n+1}\\ \end{pmatrix}$ pour tout $n\geq 1$. la suite $(v_n)$ est une suite de matrices lignes de taille $(1\times 3)$.

Définition.

Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes ou lignes, on dit que $(U_n)$ converge si et seulement tout les d'éléments des matrices $U_n$ convergent.

Exemples.

La suite $(u_n)$ définie par $u_n=\begin{pmatrix} n^2\\(-1)^n\\ \dfrac{2}{n+1}\end{pmatrix}$ pour tout $n\geq 1$ ne converge pas car par exemple $\displaystyle\lim_{n\mapsto+\infty}n^2=+\infty$.
La suite $(v_n)$ définie par $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{n}&\dfrac{(-1)^n}{n^2}& \dfrac{2n}{n+1}\\ \end{pmatrix}$ pour tout $n\geq 1$ converge. $\displaystyle\lim_{n\mapsto+\infty}v_n=\begin{pmatrix} 0&0&2\\ \end{pmatrix}$.

Suites de la formes $U_{n+1}=A\times U_n$ ou $U_{n+1}=U_n\times A$.

Démontrons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a:$U_n=A^n\times U_0$.
- Initialisation: $A^0\times U_0=I_n\times U_0=U_0$. Donc la propriété est vrai au rang $n=0$.
- Transmission: Supposons qu'il existe un entier $p$ tel que $U_p=A^p\times U_0$.
  $U_{p+1}=A\times U_p=A\times(A^p\times U_0)$ $=(A\times(A^p)\times U_0=A^{p+1}\times U_0$.
  Donc la propriété reste vraie au rang $p+1$.
- Conclusion: pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $U_n=A^n\times U_0$.
Démontrons par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a:$U_n=U_0\times A^n$.
- Initialisation: $U_0\times A^0=I_n\times U_0=U_0$. Donc la propriété est vrai au rang $n=0$.
- Transmission: Supposons qu'il existe un entier $p$ tel que $U_p=U_0\times A^p$.
  $U_{p+1}=U_p\times A=(U_0\times A^p)\times A$ $=U_0\times (A^p)\times A)=U_0\times A^{p+1}$.
  Donc la propriété reste vraie au rang $p+1$.
- Conclusion: pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $U_n=U_0\times A^n$.

Proposition.

Soit une suite $(U_n)$ de matrices colonnes de taille $p$($p\geq 2$) et soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$. Supposons que pour tout $n\in\mathbb{N}$ nous ayons: $U_{n+1}=A\times U_n$. Alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $U_n=A^n\times U_0$.
Soit une suite $(U_n)$ de matrices lignes de taille $p$($p\geq 2$) et soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$. Supposons que pour tout $n\in\mathbb{N}$ nous ayons: $U_{n+1}=U_n\times A$. Alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $U_n=U_0\times A^n$.

Par convention pour toutes matrices carrées $A$ de taille $n$, nous avons $A^0=I_n$.

Exercice.

Soit la suite de matrices colonnes $(U_n)$ définie par $U_0=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ $~~~~~$ $U_{n+1}=A\times U_n$ $~~~~$ avec $~~$ $A=\begin{pmatrix} 0,3&-0.1\\ 0,2&0\\ \end{pmatrix}$.

Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $A^n=(0,1)^n\begin{pmatrix} 2^{n+1}-1&1-2^n\\ 2^{n+1}-2&2-2^n\\ \end{pmatrix}$.
En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de $n$.
La suite $(U_n)$ est-elle convergente?

Démontrons par récurrence que $A^n=(0,1)^n\begin{pmatrix} 2^{n+1}-1&1-2^n\\ 2^{n+1}-2&2-2^n\\ \end{pmatrix}$.
- Initialisation: $(0,1)^0\begin{pmatrix}2^{0+1}-1&1-2^0\\2^{0+1}-2&2-2^0\\ \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}2-1&1-1\\2-2&2-1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}$. Donc la propriété est vrai au rang $n=0$ puisque $A^0=I_2$.
- Transmission: Supposons qu'il existe un entier $p$ tel que $A^p=(0,1)^p\begin{pmatrix}2^{p+1}-1&1-2^p\\2^{p+1}-2&2-2^p\\ \end{pmatrix}$.
  Calculons $A^{p+1}=A^p\times A$, mais au préalable constatons que $A=(0.1)\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\\ \end{pmatrix}$
  Donc $A^{p+1}=(0,1)^p\begin{pmatrix}2^{p+1}-1&1-2^p\\2^{p+1}-2&2-2^p\\ \end{pmatrix}\times(0.1)\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\\ \end{pmatrix}$ $=(0.1)^{p+1}\begin{pmatrix}2^{p+1}-1&1-2^p\\2^{p+1}-2&2-2^p\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\\ \end{pmatrix}$.
  Donc $A^{p+1}=(0.1)^{p+1}\times\begin{pmatrix}3(2^{p+1}-1)+2(1-2^p)&-(2^{p+1}-1)\\3(2^{p+1}-2)+2(2-2^p)&-(2^{p+1}-2)\\ \end{pmatrix}$
  $A^{p+1}=(0.1)^{p+1}\times\begin{pmatrix} 2\times 2^{p+1}-1&1-2^{p+1}\\2\times 2^{p+1}-2&2-2^{p+1}\\ \end{pmatrix}$ $=0.1)^{p+1}\times\begin{pmatrix} 2^{p+2}-1&1-2^{p+1}\\2^{p+2}-2&2-2^{p+1}\\ \end{pmatrix}$
- Conclusion: pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $A^n=(0,1)^n\begin{pmatrix} 2^{n+1}-1&1-2^n\\ 2^{n+1}-2&2-2^n\\ \end{pmatrix}$.
Déduisons une formule de $U_n$ en fonction de $n$.
Nous avons D'aprés la proposition précédente que pour tout $n\in\mathbb{N}$ $~~~~$ $U_n=A^n\times U_0$.
Donc $U_n=(0,1)^n\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&1-2^n\\2^{n+1}-2&2-2^n\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\1\\ \end{pmatrix}$ $=(0,1)^n\begin{pmatrix}2^{n+1}-1+1-2^n\\2^{n+1}-2+2-2^n\\\end{pmatrix}$ $=(0,1)^n\begin{pmatrix}2^{n}\\2^{n}\\\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}(0.2)^{n}\\(0.2)^{n}\\\end{pmatrix}$
Comme $-1 < 0.2 < 1$ nous savons que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(0.2)^n=0$.
Donc (u_n) est convergente et $\displaystyle\lim_{x\mapsto +\infty}U_n=\begin{pmatrix}0\\0\\ \end{pmatrix}$.

Suites de la forme $U_{n+1}=A\times U_n+B$.
- Supposons qu'il existe une matrice $C$ telle que $C=A\times C+B$ $\Leftrightarrow$ $B=C-A\times C$.
  De même nous savons que $B=U_{n+1}-A\times U_n$ donc nous avons $U_{n+1}-A\times U_n=B=C-A\times C$, donc $U_{n+1}-A\times U_n=C-A\times C$.
  $U_{n+1}-A\times U_n=C-A\times C$ $\Leftrightarrow$ $U_{n+1}-C=A\times U_n-A\times C=A\times (U_n-C)$.
- Si on pose $V_n=U_n-C$, nous réalisons un changement de variable et nous obtenons l'équivalence suivantes:
  $U_{n+1}-C=A\times (U_n-C)$ $\Leftrightarrow$ $V_{n+1}=A\times V_n$ avec $V_0=U_0-C$.
  Nous savons que pour tout $n\in\mathbb{N}$ $~~~~$ $V_n=A^n\times V_0$, donc $U_n-C=A^n\times (U_0-C)$.
  Alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $U_n=A^n\times(U_0-C)+C$.
Proposition.

Soit une suite $(U_n)$ de matrices colonnes de taille $p$($p\geq 2$) et soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ et $B$ une matrice colonne de taille $p$. Supposons que pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $U_{n+1}=A\times U_n+B$. Si il existe une matrice colonne $C$ telle que $C=A\times C+B$, alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $U_n=A^n\times(U_0-C)+C$.
Exercice.

Soit la suite de matrices colonnes $(U_n)$ définie par $U_0=\begin{pmatrix} 24\\ 3\\ \end{pmatrix}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ $U_{n+1}=A\times U_n+B$ avec $A=\begin{pmatrix} 0,3&0.2\\ 0,1&0,4\\ \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 12\\ 0\\ \end{pmatrix}$.
- Montrer que $A=PDQ$ avec $P=\begin{pmatrix} 1&-2\\ 1&1\\ \end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix} 0,5&0\\ 0&0,2\\ \end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\ -\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}$. Calculer $Q\times P$ et en déduire $A^n$ en fonction de $n$.
- Exprimer $U_n$ en fonction de $n$, puis étudier la convergence de la suite $(U_n)$.
- Calculons la matrice $PDQ=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,2\\ \end{pmatrix}$ $\times\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0,3&0.2\\ 0,1&0,4\\ \end{pmatrix}$.
- $Q\times P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\-\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}\times$ $\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\\ \end{pmatrix}$ $=I_2$.
  Nous remarquons aussi que $P\times Q=I_2$.
- Montrons par récurrence que $A^n=P\times D^n\times Q$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
  - Initialisation:Si $n=0$ on a $P\times D^0\times Q=p\times Q=I_2$ et $A^0=I_2$. Donc la propriété est vérifiée pour $n=0$
  - Transmission: $A^{n+1}=A^n\times A=(P\times D^n\times Q)\times(PDQ)$ $=P\times D^n\times (QP)(DQ)$ $=P\times D^n\times I_2(DQ)$ $=PD^{n+1}Q$.
  - Conclusion:$A^n=P\times D^n\times Q$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
- La matrice $D$ étant une matrice diagonale nous avons que $D^n=\begin{pmatrix}(0,5)^n&0\\0&(0,2)^n\\ \end{pmatrix}$.
  Donc $A^n=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}(0,5)^n&0\\0&(0,2)^n\\ \end{pmatrix}$ $\times\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}$
  $A^n=\begin{pmatrix}(0,5)^n&-2\times(0.2)^n\\(0,5)^n&(0,2)^n\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ \end{pmatrix}$
  $A^n=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}(0,5)^n-(0,2)^n&2(0,5)^n-2(0.2)^n\\(0,5)^n+(0,2)^n&2(0,5)^n+(0,2)^n\\ \end{pmatrix}$.
- Déterminons la matrice colonne $C$ tel que $C=A\times C+B$.\newline Nous avons $C=A\times C+B$ $\Leftrightarrow$ $(I_2-A)\times C=B$ $\Leftrightarrow$ $C=(I_2-A)^{-1}B$.
  C'est à dire $C=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,2\\ \end{pmatrix}^{-1}\times\begin{pmatrix}12\\0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18\\3\\ \end{pmatrix}$
- Calculons $U_n$ en fonction de $n$.
  $U_n=A^n\times(U_0-C)+C$ $=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}(0,5)^n-(0,2)^n&2(0,5)^n-2(0.2)^n\\(0,5)^n+(0,2)^n&2(0,5)^n+(0,2)^n\\ \end{pmatrix} \times(\begin{pmatrix}24\\3\\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}18\\3\\ \end{pmatrix})+\begin{pmatrix}18\\3\\ \end{pmatrix}$.
  Donc nous avons: $U_n=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}(0,5)^n-(0,2)^n&2(0,5)^n-2(0.2)^n\\(0,5)^n+(0,2)^n&2(0,5)^n+(0,2)^n\\ \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}6\\0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18\\3\\ \end{pmatrix}$.
  $U_n=\begin{pmatrix}(0,5)^n-(0,2)^n&2(0,5)^n-2(0.2)^n\\(0,5)^n+(0,2)^n&2(0,5)^n+(0,2)^n\\ \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}2\\0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18\\3\\ \end{pmatrix}$.
  $U_n=\begin{pmatrix}(20,5)^n-2(0,2)^n\\2(0,5)^n+2(0,2)^n\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18\\3\\ \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}2(0,5)^n-2(0,2)^n+18\\2(0,5)^n+2(0,2)^n+3\\ \end{pmatrix}$.
Marche aléatoire, étude de quelques marche aléatoire.

Définition.

Soit une expérience aléatoire ayant $N$ issues possibles $S_1$, $S_2$,..., $S_N$.
Une marche aléatoire sur $E=\{S_1, S_2,...,S_n\}$ est une suite de variables aléatoires $(X_n)$ prenant chacunes pour valeurs les différents états possibles, telle que l'état du processus à l'instant $(n+1)$ ne dépend que de celui à l'instant $n$ précédent, mais non des états antérieurs et ceci indépendamment de $n$.

Définition.

Soit une marche aléatoire et soit $P=(p_{i,j})$ sa matrice de transition, alors on a les propriétés suivantes.

Pour tout $1\leq i\leq N$ et pour tout $1\leq j\leq N$ on a: $0\leq p_{i,j}\leq 1$.
La somme des éléments d'une même ligne est 1.

Soit une expérience aléatoire ayant $N$ issues possibles $S_1$, $S_2$,..., $S_N$.
Une marche aléatoire sur $E=\{S_1, S_2,...,S_n\}$ est une suite de variables aléatoires $(X_n)$ prenant chacunes pour valeurs les différents états possibles.
La matrice de transition est $T=\begin{pmatrix} p_{11}&p_{12}&...&p_{1p}\\ p_{21}&p_{22}&...&p_{2p}\\ ..&\cdot&..&.\\ p_{i1}&.&p_{ij}&.\\ .&.&.&.\\ p_{n1}&p_{n2}&...&p_{np}\\ \end{pmatrix}$.
Le nombre $p_{ij}=P_{X_i}(X_j)$, donc $0\leq p_{ij}\leq 1$.
Calculons la somme des éléments d'une même ligne.
$\Sigma_{j=1}^{n}p_{ij}=\Sigma_{j=1}^{n}P_{X_i}(X_j)$ $=\Sigma_{j=1}^{n}\dfrac{P(X_i\cap X_j)}{P(X_i)}$ $=\dfrac{\Sigma_{j=1}^{n}P(X_i\cap X_j)}{P(X_i)}$.
Or $\Sigma_{j=1}^{n}P(X_i\cap X_j)$ $=P(X_i\cap(\cup_{j=1}^nX_j))=P(X_i)$.
Donc $\Sigma_{j=1}^{n}p_{ij}=\dfrac{P(X_i)}{P(X_i)}=1$.

Graphes et matrices de transitions (révision);

Définition.

A toute marche aléatoire, on peut associer un graphe; Ce graphe est construit de la façon suivante:

Les états sont représentés par des points: ce sont les sommets du graphe;
Le passage d'un état à un autre est symbolisé par un arc orienté reliant deux sommets( un sommet pouvant être relié à lui-même: ce sont les arêtes du graphes.
Sur chaque arc orienté de l'états i vers l'état j est noté la probabilité $p_{i,j}$.

La matrice de transition du graphe ci-contre est:
$T=\begin{pmatrix} 0&0.2&0.4&0.4\\ 0&0.9&0&0.1\\ 0.3&0&0&0.7\\ 0.3&.0.7&0&0\\ \end{pmatrix}$

Donner la matrice $T$ de transition du graphe ci-contre (respecter l'ordre alphabétique pour la matrice).
Posons $a_n=P(A_n)$, $b_n=P(B_n)$, $c_n=P(C_n)$, $d_n=P(D_n)$, $e_n=P(E_n)$ et $f_n=P(F_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ et $X_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n&c_n&d_n&e_n&f_n\\ \end{pmatrix}$ est le vecteur état à l'étape $n$. Sachant que $X_{n+1}=X_n\times T$, en déduire les relations reliant $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$, $d_{n+1}$, $e_{n+1}$ $f_{n+1}$ et $a_n$, $b_n$, $c_n$, $d_n$, $e_n$ $f_n$.
A l'aide d'un tableur donner les valeurs de $a_n$, $b_n$, $c_n$, $d_n$, $e_n$ $f_n$ jusqu'au rang 20.
En déduire la probabilité d'être en $E$ à 20° étapes.
Le systéme se stabilise t-il? La matrice $X_n$ semble t-elle converger, vers quelle limite éventuelle?

$T=\begin{pmatrix}0.2&0.2&0.6&0&0&0\\0.5&0.2&0&0&0&0.3\\0&0&0.1&0.3&0&0.6\\0.2&0&0&0.8&0&0\\0&0&0&0&0.5&0.5\\0.3&0.3&0&0&0&0.4\\ \end{pmatrix}$.
Nous savons d'aprés le cours que $X_{n+1}=X_n\times T$, c'est à dire que :
$\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}&c_{n+1}&d_{n+1}&e_{n+1}&f_{n+1}\\ \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}a_n&b_n&c_n&d_n&e_n&f_n\\ \end{pmatrix}\times$ $\begin{pmatrix}0.2&0.2&0.6&0&0&0\\0.5&0.2&0&0&0&0.3\\0&0&0.1&0.3&0&0.6\\0.2&0&0&0.8&0&0\\0&0&0&0&0.5&0.5\\0.3&0.3&0&0&0&0.4\\ \end{pmatrix}.$
$\Leftrightarrow\begin{cases} a_{n+1}=0.2a_n+0.5b_n+0.2d_n+0.3f_n\\ b_{n+1}=0.2a_n+0.2b_n+0.3f_n\\ c_{n+1}=0.6a_n+0.1c_n\\ d_{n+1}=0.3c_n+0.8d_n\\ e_{n+1}=0.5e_n\\ f_{n+1}=0.3b_n+0.6c_n+0.5e_n+0.4f_n\end{cases}$
Voici ci-dessou la trace donné par un tableur:
A la ligne 21 du tableur, nous lisons $P(E_{20})=9,5367431640625\times 10^{-7}$
Il semble que $(X_n)$ soit convergente, il suffit de scroller le tableur vers le bas.

Marche aléatoire à deux états.

Proposition.
Toute matrice de transition d'une marche aléatoire à deux états est de la forme $M=\begin{pmatrix} 1-a&a\\ b&1-b\\ \end{pmatrix}$ avec $a=P_{(X_n=S_1)}(X_{n+1}=S_2)$ et $b=P_{(X_n=S_2)}(X_{n+1}=S_1)$.

Posons $a=P_A(B)$ et $b=P_B(A)$, nous avons le graphe ci-contre.
Bien sur $P_A(A)=1-P_A(B)=1-a$ et $P_B(B)=1-P_B(A)=1-b$, donc nous avons la mtrice de transition $M=\begin{pmatrix} 1-a&a\\ b&1-b\\ \end{pmatrix}$.

Nous savons d'après la proposition précédente que la matrice de transition

Proposition.

Soit la matrice ligne $P_n=\begin{pmatrix} P_{(X_n=S_1)}(X_{n+1}=S_2)&P_{(X_n=S_2)}(X_{n+1}=S_1)\\ \end{pmatrix}$ appelée la répartition de probabilité à l'étape $n$.
Si $M$ est la matice de transition de la marche aléatoire, alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a: $P_{n+1}=P_n\times M$.
et donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P_n=P_0\times M^n=P_0\times\begin{pmatrix} 1-a&a\\ b&1-b\\ \end{pmatrix}^n$.
Etude asymptotique des marches aléatoires.

Proposition.

Soit une marche aléatoire à deux états, de matrice de transition $M=\begin{pmatrix} 1-a&a\\ b&1-b\\ \end{pmatrix}$. et $P_n$ la probabilité de répartition à l'étape $n$.
Pour $(a,b)\not=(0,0)$ et $(a,b)\not=(1,1)$, on a les propriétés suivantes:

Il existe une matrice ligne $\Pi$ telle que $\Pi=\Pi\times M$. on a de plus que $\Pi=\begin{pmatrix} \dfrac{b}{a+b}&\dfrac{a}{a+b}\\ \end{pmatrix}$.
Quelle que soit la répartition de départ $P_0$, la suite $P_n$ converge vers $\Pi$.

Soit $U_n$ la matrice ligne associée à cette marche aléatoire, et $U_0=(x_0;y_0)$ avec $x_0+y_0=1$. Soit la matrice $S=\begin{pmatrix}1&a\\1&-b\\ \end{pmatrix}$ et $(a,b)$ différent de $(0,0)$ et $(1,1)$. Alors, puisque $a+b\not=0$ $S$ est inversible et $S^{-1}=\dfrac{1}{a+b}\begin{pmatrix}b&a\\ 1&-1\\ \end{pmatrix}$. D'où $S^{-1}M=S^{-1}\times\begin{pmatrix}1&a(1-a-b)\\1&-b(1-a-b)\\ \end{pmatrix}$ et $S^{-1}M=\begin{pmatrix}1&0\\0&1-a-b\\ \end{pmatrix}$. En notant $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&1-a-b\\ \end{pmatrix}$, on a $M=SDS^{-1}$. Nous en déduisons par un raisonnement par récurrence que $M^n=SD^nS^{-1}$.
Nous avons $D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&(1-a-b)^n\\ \end{pmatrix}$, nous avons donc:

$M^n=\begin{pmatrix}1&a\\1&-b\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0\\0&(1-a-b)^n\\ \end{pmatrix}$ $\times\dfrac{1}{a+b}\begin{pmatrix}b&a\\ 1&-1\\ \end{pmatrix}$, donc

$M^n=\dfrac{1}{a+b}\begin{pmatrix}b+a(1-a-b)^n&a-a(1-a-b)^n\\b-b(1-a-b)^n&a+b(1-a-b)^n\\ \end{pmatrix}.$
Nous savons que $0\leq a+b \leq 2$, donc $-1\leq 1-a-b \leq 1$, puisque $a+b\not=0$ et $a+b\not=2$, donc $-1 < 1-a-b < 1$ et donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(1-a-b)^n=0$ et donc:

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}M^n=\dfrac{1}{a+b}\times\begin{pmatrix}b&a\\b&a\\ \end{pmatrix}.$
d'aprés la propriété des suites matricilles du type $U_{n+1}=U_n\times M$, nous avons que $U_n=U_0\times M^n$. Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=\dfrac{1}{a+b}\times\begin{pmatrix}x_0&y_0\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b&a\\b&a\\ \end{pmatrix}.$
Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}U_n=\begin{pmatrix}\dfrac{b}{a+b}&\dfrac{a}{a+b}\\ \end{pmatrix}=\Pi$.
On peut remarquer que cette matrice ligne $\Pi$ est la solution de l'équation $X=X\times M$ où $X$ est un ligne ligne de dimension 2.
En effet $\Pi\times M =\begin{pmatrix}\dfrac{b}{a+b}&\dfrac{a}{a+b}\\ \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1-a&a\\b&1-b\\ \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}\dfrac{b(1-a)+ab}{a+b}&\dfrac{ab+a(1-b)}{a+b}\\ \end{pmatrix}.$ Donc $\Pi\times M=\Pi$.

Cours de mathématiques TS

Suites de matrices colonnes, problèmes d'évolutions.

Suites de matrices de la forme $U_{n+1}=Au_n+B$.

Définition.

Exemples.

Définition.

Exemples.

Suites de la formes $U_{n+1}=A\times U_n$ ou $U_{n+1}=U_n\times A$.

Proposition.

Par convention pour toutes matrices carrées $A$ de taille $n$, nous avons $A^0=I_n$.

Exercice.

Suites de la forme $U_{n+1}=A\times U_n+B$.

Proposition.

Exercice.

Marche aléatoire, étude de quelques marche aléatoire.

Définition.

Définition.

Graphes et matrices de transitions (révision);

Définition.

Voir activité

Correction de l'activité.

Marche aléatoire à deux états.

Proposition.

Proposition.

Etude asymptotique des marches aléatoires.

Proposition.