Forme trigonométrique, forme exponentielle d'un nombre complexe.
Module et arguments d'un nombre complexe.
- un argument de $z$, noté $arg(z)$, est n'importe quelle mesure exprimée en radians de l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$.
- Le module de $z$ est la longueur $OM$, on a $|z|=0M$.
Formes trigonométriques d'un nombre complexe.
- Soit $z=a+ib$ un nombre complexe et $M(a,b)$ son image, et soit $(\rho,\theta)$ les coordonnées polaire de $M$, alors on a: $\bigg\{ \begin{array}[pos]{c} a=\rho\cos(\theta)\\ b=\rho\sin(\theta)\\ \end{array}$.
- Soit $a$ et $b$ deux réels connus, alors on a $\rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et $\theta$ est défini par: $\cos(\theta)=\displaystyle\frac{a}{\rho}$ et $\sin(\theta)=\displaystyle\frac{b}{\rho}$.
- $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
Posons $\theta=Arg(z) [2\pi]$ nous avons $\Bigg\{\begin{array}[pos]{c} \cos(\theta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\ \sin(\theta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\ \end{array}$. donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.
Donc $1+i=\sqrt{2}(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4}))$. - $|-5i|=5$, posons $\theta=Arg(z) [2\pi]$ nous avons $\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}
\cos(\theta)=\displaystyle\frac{0}{5}=0\\
\sin(\theta)=\displaystyle\frac{-5}{5}=-1\\
\end{array}$, donc $\theta=-\dfrac{\pi}{2}$.
Donc $-5i=5(\cos(-\dfrac{\pi}{2})+i\sin(-\dfrac{\pi}{2}))$. - $|\sqrt{3}+i|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2$.
$\theta=Arg(z) [2\pi]$ nous avons $\bigg\{\begin{array}[pos]{c} \cos(\theta)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin(\theta)=\displaystyle\frac{1}{2}\\ \end{array}$, donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}$.
Donc $\sqrt{3}+i=2(\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6}))$. - $|1-i\sqrt{3}|=2$ $\theta=Arg(z) [2\pi]$ nous avons $\bigg\{\begin{array}[pos]{c}
\cos(\theta)=\displaystyle\frac{\sqrt{1}}{2}\\
\sin(\theta)=\displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{2}\\
\end{array}$, donc $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$.
Donc $1-i\sqrt{3}=2(\cos(-\dfrac{\pi}{3})+i\sin(-\dfrac{\pi}{3}))$. - Soient $z=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ et $z'=\rho'(\cos(\theta')+i\sin(\theta'))$.
$z=z'~~\Leftrightarrow~~\Bigg\{ \begin{array}[pos]{c} \rho=\rho'\\ \theta=\theta'~~mod[2\pi]\\ \end{array}.$ - L'écriture $z=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ avec $\rho=|z|$ et $\theta=arg(z)~~mod[2\pi]$ est appelée forme trigonométrique de $z$.
Propriétés des modules et arguments.
- $|z\times z'|=|z||z'|$ pour tout $z'\not=0$.
- $\bigg|\displaystyle\frac{z}{z'}\bigg|=\displaystyle\frac{|z|}{|z'|}$.
- Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $|z^n|=|z|^n$.
- $arg(z\times z')=arg(z)+arg(z')~~mod~~2\pi$.
- Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $arg(z^n)=n \times arg(z)~~mod~~2\pi$.
- $arg\bigg(\displaystyle\frac{z}{z'}\bigg)=arg(z)-arg(z')~~mod~~2\pi$.
- Nous savons d'aprés le chapitre L'ensemble des nombres Complexes. que $|z|^2=z\times\bar{z}$.
Calculons $(|z||z'|)^2=|z|^2\times|z'|^2$ $=(z\times\bar{z})\times (z'\times\bar{z'})$ $=zz'\times \bar{z}\bar{z'}$ $zz'\times\overline{zz'}=|zz'|^2$.
Donc nous avons $(|z||z'|)^2=|zz'|^2$ or comme $|z||z'|\geq 0$ et $|zz'|\geq 0$, on en déduit que $|z\times z'|=|z||z'|$. - $\bigg|\displaystyle\frac{z}{z'}\bigg|^2=\dfrac{z}{z'}\times\overline{\dfrac{z}{z'}}$ $=\dfrac{z}{z'}\times\dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}$
$=\dfrac{z\times\bar{z}}{z'\times\bar{z'}}$ $=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}=\bigg(\dfrac{|z|}{|z'|}\bigg)^2$.
Donc nous avons $\bigg|\displaystyle\frac{z}{z'}\bigg|^2=\bigg(\dfrac{|z|}{|z'|}\bigg)^2$, comme les nombres sous les carrés sont positifs ou nuls, nous en déduisons que $\bigg|\displaystyle\frac{z}{z'}\bigg|=\displaystyle\frac{|z|}{|z'|}$. - Un raisonnement par récurrence et la propriété du produit $|z\times z'|=|z||z'|$, permet de démontrer la formule de la puissance d'un module.
- Démontrons $arg(z\times z')=arg(z)+arg(z')~~mod~~2\pi$.
Posons pour simplifier les notations $arg(z)=\theta$ et $arg(z')=\theta'$. nous avons $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ et $z'=|z'|(\cos(\theta')+i\sin(\theta'))$ Ecriture exponentielle d'un nombre complexe.
- Le nombre complexe $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ de module 1 dont un argument est $\theta$ est noté $e^{i\theta}$.
$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. - Tout nombre complexe $z$ non nul $(z\not=0)$, dont un argument est $\theta$, peut s'écrire $z=|z|e^{i\theta}$.
Cette écriture de $z$ s'appelle forme exponentielle de $z$. Exemples élémentaires de formes exponentielles et trigonométriques.
Opérations algébriques sur les formes exponentielles.
Formules d'Euler.
- $\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ $=\dfrac{[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]+[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)]}{2}$ $=\dfrac{[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]+[\cos(\theta)-i\sin(\theta)]}{2}$ $=\dfrac{2\cos(\theta)}{2}=\cos(\theta)$.
- $\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ $=\dfrac{[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]-[\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)]}{2i}$ $=\dfrac{[\cos(\theta)+i\sin(\theta)]-[\cos(\theta)-i\sin(\theta)]}{2}$ $=\dfrac{2i\sin(\theta)}{2i}$ $=\sin(\theta)$.
Utilisation des nombres complexes en géométrie.
- Soit $A$, $B$ d'affixes $z_A$, $z_B$ on a: $AB=|z_B-z_A|.$
- Soit $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes $z_A$, $z_B$, $z_C$, $z_D$ tels que $z_A\not=z_B$ et $z_C\not=z_D$ alors on a:
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=arg\bigg(\displaystyle\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg)~~mod~~2\pi$. -
Soit $A$, $B$ d'affixes $z_A$, $z_B$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.
Comme $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$ le point $M$ a pour affixe $z_M=z_B-z_A$.
Nous savons d'aprés la définition de l'argument de $z$ que $arg(z_M)=(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$
Donc $(\vec{i},\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$ $=z_M=z_B-z_A$.
- D'aprés la relation de chasles sur les angles orientés nous avons:
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ $=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{i})+(\overrightarrow{i},\overrightarrow{CD})[2\pi]$ $=-(\overrightarrow{i},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{i},\overrightarrow{CD})[2\pi]$ $=(\overrightarrow{i},\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{i},\overrightarrow{AB})[2\pi]$.
Or nous savons grâce à la relation précédente que $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{CD})=arg(z_D-z_C)~~mod~~2\pi$ et $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{AB})=arg(z_B-z_A)~~mod~~2\pi$.
Donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ $=arg(z_D-z_C)-arg(z_B-z_A)~~mod~~2\pi$.
Nous savons que pour $z,z'\in\mathbb{C}$ et $z'\not=0$, $arg\bigg(\displaystyle\frac{z}{z'}\bigg)=arg(z)-arg(z')~~[2\pi]$.
Donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ $=arg(z_D-z_C)-arg(z_B-z_A)=arg\bigg(\displaystyle\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg)~~[2\pi]$
Définition.
Soit $z$ un nombre complexe non nul, $z=a+ib$ $a$, $b\in\mathbb{R}$ et soit $M$ le oint d'affixe $z$.
| Coordonnées de M ( ; ) |
| affixe de M () |
| Module de z:$|z|$ = |
| Argument de z:Arg(z) = |
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Remarque:
Dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, a tout point $M$ de coordonnées $(a;b)$ on peut associer un nombre complexe $a+ib$,
et inversement à tout nombre complexe $z=a+ib$ on peut associer un point $M$ de coordonnées $(a;b)$.
Si $M$ est distinct du point $O$ alors le module de $z$ est différent de $0$ et $a\not=0$ ou $b\not=0$.
Si on désigne par $\rho$ le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$, nous avons:
$\rho=\sqrt{a^2+b^2}$ et $arg(z)=\theta~~mod~~2\pi.$
$\bigg\{\begin{array}[pos]{c}
a=\rho\cos(\theta)\\
b=\rho\sin(\theta)\\
\end{array}.$
Donc on peut écrire le nombre $z$ sous la forme:
$z=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta)).$
Inversement si $z=a+ib$ avec $\rho=|z|\not=0$, il existe un réel $\theta$ tel que:
$\bigg\{\begin{array}[pos]{c}
\cos(\theta)=\displaystyle\frac{a}{\rho}\\
\sin(\theta)=\displaystyle\frac{b}{\rho}\\
\end{array}.$
En effet, supposons $a>0$, on a $0\displaystyle\frac{a}{\rho}\leq 1$.
Il existe donc un réel $\theta\in]-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}[$, tel que $\cos(\theta)=\displaystyle\frac{a}{\rho}$.
Comme nous avons:
$\bigg(\displaystyle\frac{a}{\rho}\bigg)^2+\bigg(\displaystyle\frac{b}{\rho}\bigg)^2=1=\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta).$
$\Rightarrow~~\sin^2(\theta)=\bigg(\displaystyle\frac{b}{\rho}\bigg)^2~~\Rightarrow~~\sin(\theta)=\displaystyle\frac{|b|}{\rho}.$
Si $b>0$ on prend $\theta$, si $b < 0$, on prend $-\theta$,
donc pour tout élément $z\not=0$ peut être défini de maniére unique par la connaissance d' un couple
$(\rho,\theta)$. Le couple $(\rho,\theta)$ est une coordonnées polaire de $M$ d'affixe $z$.
Exercices.
Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants: $1+i$, $(-5i)$, $\sqrt{3}+i$ et $1-\sqrt{3}i$.Propriété.
Théorème.
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ $(z, z'\in\mathbb{C})$ on a:
Remarque.
Considérons l'ensemble de $\mathbb{C}$, $\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}~~tel~~que~~|z|=1\}$, l'image de $\mathbb{U}$ dans le plan est le cercle de centre $0$ et de rayon $1$.
Considérons la fonction $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{U}$ qui à un réel $\theta$ fait correspondre le nombre complexe $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.
$ \begin{array}[pos]{ccc} f:\mathbb{R}&\longmapsto&\mathbb{U}\\ \theta&\longmapsto&f(\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\\ \end{array}.$
$f(\theta)f(\theta')=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(\cos(\theta')+i\sin(\theta'))$ Donc $f(\theta)f(\theta')=(\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta'))+i(\sin(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta')).$
On sait que $\cos(\theta+\theta')=\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')=\sin(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta')$.
Donc $f(\theta)f(\theta')=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')=f(\theta+\theta').$
On remarque que la fonction $f$ transforme les sommes en produits.
Définition et proposition.
Soit $z=a+ib$.
$|e^{i\theta}|=|\cos(\theta)+i\sin(\theta)|=\sqrt{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=\sqrt{1}=1.$
D'après les propriétés 1.1 et 1.2 tout nombre non nul $z$ peut s'écrire sous la forme $\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ avec $\rho=|z|$, et $\theta$ un argument de $z$. On a donc
$z=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=|z|e^{i\theta}.$
| Forme algébrique | Forme trigonométrique | Forme exponentielle |
| $1$ | $\cos(0)+i\sin(0)$ | $e^{i0}$ |
| $i$ | $\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2})$ | $e^{i\frac{\pi}{2}}$ |
| $-1$ | $\cos(\pi)+i\sin(\pi)$ | $e^{i\pi}$ |
| $-i$ | $\cos(-\frac{\pi}{2})+i\sin(-\frac{\pi}{2})$ | $e^{-i\frac{\pi}{2}}$ |
| $\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4})$ | $e^{i\frac{\pi}{4}}$ |
| $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\cos(\frac{\pi}{3})+i\sin(\frac{\pi}{3})$ | $e^{i\frac{\pi}{3}}$ |
| $\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$ | $\cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6})$ | $e^{i\frac{\pi}{6}}$ |
Propriétés
| $re^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}.$ | $\displaystyle\frac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}}=\displaystyle\frac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}.$ |
| $\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}.$ | $re^{i\theta}=r'e^{i\theta'}$ $\Leftrightarrow$ $r=r'$ et $\theta=\theta'~~mod[2\pi].$ |
Proposition.
Pour tout nombre réel $\theta$ on a: $\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.
Théorème.
$(\vec{i},\overrightarrow{AB})=arg(z_B-z_A).$
Exercice.
On donne les points $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives $a=2+2i\sqrt{3}$, $b=2-2i\sqrt{3}$ et $c=-1+i\sqrt{3}$.
Démontrer que (CA) et (CB) sont perpendiculaires.
Calculons l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, pour cela calculons l'argument du nombre complexe $\bigg(\displaystyle\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\bigg)$.
$\bigg(\displaystyle\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\bigg)$ $=\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{-1+i\sqrt{3}-(2+2i\sqrt{3})}{2-2i\sqrt{3}-(2+2i\sqrt{3})}$ $=\dfrac{-3-i\sqrt{3}}{-4i\sqrt{3}}$
$=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$.
Calculons l'argument de $z=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i$.
$|\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i|=\sqrt{(\dfrac{1}{4})^2+(-\dfrac{\sqrt{3}}{4})^2}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{16}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$.
Posons $\theta=Arg(z) [2\pi]$ nous avons $\Bigg\{\begin{array}[pos]{c}
\cos(\theta)=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\\
\sin(\theta)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{array}$; donc $\theta=\dfrac{-\pi}{3}~~[2\pi]$.
Remarque.
Il est normal que le signe de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ soit négatif, puisque le sens de lecture est l'inverse de sens trigonométrique.