Théorème de Bezout, Théorème de Gauss.
Introduction.
Un astronome a observé au jour $j_0$ le corps céleste A. Il apparait périodiquement tous les 105 jours, six jours plus tard ($j_0+6$), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle $j_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets au yeux de l'astronome. Le but est de déterminer la date de ce jour $j_1$.
Un probléme d'astronomie.
Diviseurs communs à deux entiers.
Soit $a$ un entier relatif, on note $Div_{\mathbb{Z}}(a)$ l'ensemble de tous les diviseurs de $a$ dans $\mathbb{Z}$ et $Div{\mathbb{N}}(a)$ l'ensemble de tous les diviseurs de a positifs. Quand il n'y a pas d'ambiguité on notera plus simplement $Div_{\mathcal{Z}}$ par $Div$.
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs, on note $Div(a,b)$ l'ensemble des diviseurs communs de $a$ et $b$. On a $Div(a,b)=Div(a)\cap Div(b)$.
- Pour tout $k\in\mathbb{Z}$, on a $Div(a,b)=Div(a-kb,b)$.
- $Div(a,b)\subset Div(a)$.
- Si $b$ divise $a$ alors $Div(a,b)=Div(b)$.
- $Div(a,b)=Div(|a|,|b|)$.
- Si $b\not=0$ et si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$, alors $Div(a,r)=Div(b,r)$.
-
- Démontrons que si $x\in Div(a,b)$ $\Leftarrow$ $x\in Div(a-kb,b)$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$.
Soit $x\in Div(a,b)$ alors $x$ divise $a$ et $x$ divise $b$. Soit $k\in\mathcal{Z}$ $x$ divise $a-kb$.
Donc $x$ divise $a-kb$ et $b$, donc $x\in Div(a-kb,b)$. On a donc démontré que $Div(a,b)\subset Div(a-kb,b)$. - Démontrons que si $x\in Div(a-kb,b)$ alors $x\in Div(a,b)$pour tout $k\in\mathbb{Z}$.
Soit $x\in Div(a-kb,b)$ alors $x$ divise $a-kb$ et $b$ ce qui implique que $x$ divise aussi $(a-kb)+kb=a$. Donc $x$ divise $a$ et $b$, $x\in Div(a,b)$.
Nous avons démontré que $Div(a,b)\subset Div(a-kb,b)$.
- Démontrons que si $x\in Div(a,b)$ $\Leftarrow$ $x\in Div(a-kb,b)$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$.
- Il est clair que tout les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont diviseurs de $b$, donc nous avons $Div(a,b)\subset Div(b)$.
Soit $x\in Div(b)$ et $b$ divise $a$, donc $x$ divise $b$ et $b$ divise $a$, donc $x$ divise $a$ et $b$, donc $x\in Div(a,b)$.
Donc nous avons $Div(a,b)=Div(b)$. - comme on a l'équivalence suivante: $x$ divise $a$ $\Leftrightarrow$ $x$ divise $|a|$. On peut en déduire que $Div(a,b)=Div(|a|,|b|)$.
- Si $b\not=0$ et si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$, il existe un couple (q,r) avec $0\leq r
PGCD de deux entiers relatifs.
Définition.
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs non simultanément nuls, l'ensemble $Div(a,b)$ des diviseurs communs de $a$ et $b$ admet un plus grand élément.
Ce plus grand élément s'appelle le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ et se note $PGCD(a,b)$ .Propriétés du PGCD.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs avec $b\not=0$.
- $PGCD(a,b)=PGCD(|a|,|b|)$.
- $PGCD(a,1)=1$ et $PGCD(a,b)=PGCD(b,a)$. Si $b$ divise $a$, alors $PGCD(a,b)=|b|$. Pour tout $k\in\mathbb{Z}$, on a $PGCD(a,b)=PGCD(a-kb),b)$.
- Si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\not=0$, alors $PGCD(a,b)=PGCD(b,r)$ (Lemme d'Euclide)}.
Rappel sur les ensembles.
Soit $A$ et $B$ deux ensembles fini ordonné, si on note $max(A)$ le plus grand des élément de $A$.
Donc on a: si $A=B$ $\Rightarrow$ $max(A)=max(B)$.
On a $A\subset B$ $\Rightarrow$ $max(A)\leq max(B)$.
Si on explicite la définition du $PGCD(a,b)$, on a $PGCD(a,b)=max(Div(a,b))$.Algorithme d'Euclide.
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $b\not=0$ et $b\leq a$. L'algorithme suivant appelé algorithme d'Euclide permet en un nombre fini de pas de calculer le nombre $PGCD(a,b)$.
- Calculer le reste $r$ de la division euclidienne de $a$ par $b$.
- Si $r=0$, $PGCD(a,b)=b$.
- Si $r\not=0$, remplacer $a$ par $b$ et $b$ par $r$ et recommencer l'algorithme en (1).
Calculateur de PGCD.
a= b=
Homogénéité du PGCD.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $b\not=0$ et soit $k$ un entier relatif non nul $(k\not=0)$, alors on a la relation: $PGCD(ka,kb)=|k|PGCD(a,b).$
Proposition.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs avec $b\not=0$.\newline L'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$ est l'ensemble des diviseurs de $PGCD(a,b)$. On a: $Div(a,b)=Div(PGCD(a,b))$.
- 1°cas $a\in\mathbb{N}$ et $b\in\mathbb{N}$:
En utilisant l'algorithme d'euclide sur les nombres $a$, $b$, on construit une liste finie de nombres entiers $(r_n)$ telle que:
$Div(a,b)=Div(b,r_1)$ $=Div(r_1,r_2)=...=Div(r_p-1,r_p)$ $=Div(r_p,0)=Div(r_p)$. Le nombre $r_p$ étant égal au $PGCD(a,b)$
Donc on a: $Div(a,b)=Div(PGCD(a,b))$. - 2°cas $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}$:
$Div(a,b)=Div(|a|,|b|)$ $=Div(PGCD(|a|,|b|))$ $=Div(PGCD(a,b))$.
Nombres premiers entre eux.
Définition.
On dit que deux entiers relatifs non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1, ce qui revient à dire que leurs seuls diviseurs communs sont 1 et -1.
Proposition.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls.\newline $d=PGCD(a,b)$ si et seulement si, il existe deux entiers relatifs $a'$ et $b'$ premiers entre eux tels que: $ a=da'$ et $b=db'$.
Soit $d=PGCD(a,b)$, $d$ divise $a$ et $b$, donc il existe deux entiers relatifs $a'$ et $b'$ tels que $a=da'$ et $b=db'$.
Par homogénéité du PGCD, on a $d=PGCD(a,b)=PGCD(da',db')$ $d\times PGCD(a',b')$. Puisque $d\not=0$, $PGCD(a',b')=1$. Donc $a'$ et $b'$ sont premiers entre eux.- Réciproquement: si $PGCD(a,b)=PGCD(da',db')$ $=d\times PGCD(a',b')=d$.
Théoréme de Bézout.
Coefficients de Bézout.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls.
Si $D$ est le PGCD $a$ et $b$ alors il existe un couple $(u,v)$ d'entiers relatifs tel que $D=au+bv$.Considérons l'ensemble $\mathcal{E}=\bigg\{ ax+by,~~où~~x\in\mathbb{Z}~~~~et~~~~y\in\mathbb{Z}\bigg\}\cap\mathbb{N}$. L'ensemble $\mathcal{E}$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ car elle contient par exemple $|a|$. donc l'ensemble $\mathcal{E}$ admet un plus petit élément que l'on note pour fixer les idées $d$, donc $d=min(\mathcal{E})$. Puisque $d\in\mathcal{E}$ il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $d=a\times u+b\times v$.
Soit $D=PGCD(a,b)$, nous allons montrer que $D=d$.- D divise $a$ et $b$, donc $D$ divise $au+bv$, $D$ divise $d$, donc $D\leq d$.
- Montrons que le nombre $d$ est un diviseur commun de $a$ et $b$. on sait que $0\leq d\leq a$, la division Euclidienne de $a$ par $d$ s'écrit:
$a=dq+r$ avec $r$ le reste. On en déduit que $r=a-dq$ $=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(-vq)$. $r$ s'écrit donc sous la forme ax+by et $r$ est un entier naturel strictement plus petit que $d$. Or $d$ est le plus petit non nul, donc $r=0$, car sinon $d$ ne serait plus le plus élément de $\mathcal{E}$.
Donc $a=dq$ et $d$ divise $a$.
On démontre de la même maniére que $d$ divise $b$. Donc $d$ est diviseur commun de $a$ et b$, donc $d\leq D$.
$D=d$, donc il existe deux nombres relatifs $u$ et $v$ tels $D=au+bv$.
Remarque: Un tel couple $(u;v)$ est appelé coefficients de Bézout de $a$ et $b$. Il n'est pas unique!
Identité de Bézout.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls. Dire que $a$ et $b$ sont premiers entre eux équivaut à dire qu'il existe un couple $(u,v)$ d'entiers relatifs tel que $au+bv=1$.
- Soit $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux, donc $PGCD(a,b)=1$.
D'aprés le théorème précédent il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $1=au+bv$. - Réciproquement, s'il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $1=au+bv$, alors tout diviseur $d$ de $a$ et $b$ divise 1. Donc $d=1$ ou $d=-1$.
Donc PGCD(a,b)=1. Nous avons bien démontré l'équivalence.
Le théorème de Gauss.
Théorème.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et $a$ est premier avec $b$ alors $a$ divise $c$.Si $a$ divise $bc$, alors il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $bc=ka$. puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe un couple $(u,v)$ d'entiers relatifs tel que $au+bv=1$.
$c=c(au+bv)=cau+cbv$ $=cau+kav=a(cu+kv)$, comme $cu+kv\in\mathbb{Z}$, $a$ divise $c$.Savoir calculer les coefficients de bézout.
Soit $a=95$ et soit $b=35$, calculons en utilisant l'algorithme d'Euclide le $PGCD(95,35)$.
$a$ $b$ Division Euclidienne r a=95 b=35 $95=2 \times 35+25$ 25 35 25 $35=1 \times 25+10$ 10 25 10 $25=2 \times 10+5$ 5 10 5 $10=2 \times 5$ 0
$PGCD(95,35)=5$
D'aprés le théorème de Bézout il existe un coupe $(u,v)$ d'entiers relatifs tels que $95\times u+35\times v=5$.$25=a-2b$
$10=35-25=b-(a-2b)$ $=-a+3b$
$5=25-2\times 10$ $=(a-2b)-2(-a+3b)$ $=3a-8b$.
Donc on a $3a+(-8)b=5$, le couple $(u,v)=(3;-8)$ forme un exemple de coefficients de Bézout.Corollaire.
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls, si les deux entiers $a$ et $b$ divisent $c$ et sont premiers entre eux alors leur produit $ab$ divise $c$.
Si $a$ divise $c$, il existe $k\in\mathbb{Z}$, tel que $c=ak$. De plus $b$ divise $c$, il existe $k'\in\mathbb{Z}$, tel que $c=bk'$.
On en déduit que $ak=bk'$, donc $a$ divise $bk'$ et $PGCD(a,b)=1$, d'aprés le théorème de Gauss, $a$ divise $k'$.
Il existe donc $k''\in\mathbb{Z}$ tel que $k'=ak"$ et puisque $c=bk'$, on a $c=bak"$, donc $ab$ divise $c$.Résoudre une équation de la forme $ax=by$ avec $PGCD(a,b)$.
Exercice.
En utilisant le théorème de Gauss, résoudre les équations suivantes:- $5x=7y$.
- $5(x-2)=7(y+3)$
- $5x=7y$ donc par exemple 5 divise $7y$ et $PGCD(5,7)=1$, donc d'aprés le théoréme de Gauss 5 divise $y$.
Il existe donc un entiers relatif $k$, tel que $y=5k$. Recherchons $x$, on a $5x=7(5k)$, donc $x=7k$.
Conclusion: les solutions sont tous les couples $(x,y)=(7k,5k)$, avec $k\in\mathbb{Z}$. - $5(x-2)=7(y+3)$ donc par exemple 5 divise $7(y+3)$ et $PGCD(5,7)=1$, donc d'aprés le théoréme de Gauss 5 divise $y+3$.
Il existe donc un entiers relatif $k$, tel que $y+3=5k$, donc $y=5k-3$. Recherchons $x$, on a $5(x-2)=7(5k)$, donc $x-2=7k$ $Leftrightarrow$ $x=7k+2$.
Conclusion: les solutions sont tous les couples $(x,y)=(7k+2,5k-3)$, avec $k\in\mathbb{Z}$.
Résoudre une équation du type $ax+by=c$.
Remarque.
Résoudre une équation en arithmétique du type $ax+by=c$, revient à rechercher tous les couples $(x;y)$ d'entiers relatifs tels que $ax+by=c$ où $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}$ et $c\in\mathbb{Z}$.
Dans le cas où $PGCD(a,b)=1$, grâce au théorème de Gauss, la résolution sera possible.Exemple de résolution.
Déterminer tous les couples $(x;y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $(E):5x+3y=7$.
- Recherchons une solution particulière $(x_0;y_0)$, On constate facilement dans cet exemple que le couple $(x_0;y_0)=(2;-1)$ est solution en effet $5\times2+3\times (-1)=7$.
- Recherche de toutes les solutions.
Soit $(x,y)$ solution de $(E)$ $\Leftrightarrow$ $5x+3y=7=5x_0+3y_0$ $\Leftrightarrow$ $5(x-x_0)=3(y_0-y)$.
Tout revient à résoudre une équation comme dans le chapitre précédent.
$3$ divise $5(x-x_0)$ et $PGCD(5,3)=1$ (5 et 3 sont premiers entre eux) donc $3$ divise $(x-x_0)$ , donc il existe un entier $k$ tel que $x-x_0=3k$, donc $x=3k+x_0=3k+2$. Recherchons le nombre $y$ correspondant, on :
$5(3k)=3(y_0-y)$ $\Leftrightarrow$ $y_0-y=5k$ $\Leftrightarrow$ $y=y_0-5k=-1-5k$.
Nous vnons de démontrer que si $(x;y)$ est solution de $(E)$ alors $(x;y)=(3k+2;-1-5k)$ pour un nombre $k$ relatif. Montrons la réciproque. - Soit $(x;y)=(3k+2;1-5k)$ pour un nombre $k$ relatif, vérifions l'équation $5x+3y=7$.
$5(3k+2)+3(-1-5k)=15k+10-3-15k=7$.
L'ensemble de solution de l'équation $(E)$ est $\{(3k+2;-1-5k)~~k_in\mathbb{Z}\}$.
Interprétation géométrique.
Les solutions de $(E)$ sont les points de coordonnés entiéres de la droite $(d)$ d'équation cartésienne $5x+3y-7=0$.
La droite passe par le point $A(2;1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-3&5&6\\ \end{pmatrix}$
Un probléme d'astronomie.
Un astronome a observé au jour $j_0$ le corps céleste A. Il apparait périodiquement tous les 105 jours, six jours plus tard ($j_0+6$), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle $j_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets au yeux de l'astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour $j_1$.- Soient $u$ et $v$ le nombres de périodes effectuées respectivement par $A$ et $B$ entre $j_0$ et $j_1$. Montrer que le couple $(u,v)$ est solution de l'équation $(E_1):35x-27y=2$.
- Déterminer un couple $(x_0,y_0)$ d'entiers relatifs solution particulière de l'équation $(E_2):35x-27y=1$.
- En déduire une solution particulière $(u_0,v_0)$ de l'équation $(E_1)$
- Déterminer toutes les solutions de l'équation $(E_1)$.
- Déterminer la solution $(u,v)$ permmettant de déterminer $j_1$. Combien de jours s'écouleront entre $j_0$ et $j_1$?
- Le jour $j_0$ était le samedi 16 décembre 2019, quelle est la date exacte du jour $j_1$?
- Si l'astronome manque ce rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre j'usqu'à la prochaine conjonction des deux astres?
- On l'égalité $105u=6+81v$, en divisant cette égalité par 3, on obtient $35u=2+27v$ $\Leftrightarrow$ $35u-27v=2$.
Donc le couple $(u,v)$ est solution de l'équation $(E_1):35x-27y=2$. - Comme $PGCD(35,27)=1$, cherchons des coefficients de Bézout.
$a$ $b$ Division Euclidienne r a=35 b=27 $35=1 \times 27+8$ 8 27 8 $27=3 \times 8+3$ 8 8 3 $8=2 \times 3+2$ 2 3 2 $3=1 \times 2+1$ 1 2 1 $2=2 \times 1+0$ 0
$PGCD(35,27)=1$
D'aprés le théorème de Bézout il existe un coupe $(u,v)$ d'entiers relatifs tels que $35\times x_0+27\times y_0=1$.$8=a-b$
$3=27-3\times 3=b-3(a-b)$ $3=-3a+4b$
$2=8-2\times 3$ $2=(a-b)-2(-3a+4b)$ $2=7a-9b$.
$1=3-2$ $1=-10a+13b$ Donc on a $(-10)a-(-13)b=1$, le couple $(x_0,y_0)=(-10;-13)$ forme un exemple de coefficients de Bézout.- Nous savons que $35x_0-27y_0=1$ donc $2\times(35x_0-27y_0)=2$, donc $35(2\times x_0)-27(2\times y_0)=2$. Si on pose $(u_0,v_0)=(2\times x_0,2\times y_0)$ $=(-20,-26)$.
- Déterminons toutes les solutions de l'équation $(E_1):35x-27y=2$.
Soit $(x,y)$ solution de $(E_1)$ $\Leftrightarrow$ $35x-27y=2=35u_0-27v_0$ $\Leftrightarrow$ $35(x-u_0)=27(y-v_0)$.
Nous en déduisons que $27$ divise $35(x-u_0)$ et $PGCD((35,27)=1$, donc d'aprés le théorème de Gauss, $27$ divise $x-u_0$. Donc il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0=27k$ $\Leftrightarrow$ $x=27k+u_0=27k-20$.
déterminons l'entier $y$ correspondant, $35\times 27\times k=27(y-v_0)$ $\Leftrightarrow$ $y-v_0=35k$ $\Leftrightarrow$ $y=35k+v_0=35k-26$. Réciproquement si $x=27k-20$ et $y=35k-26$, on $35(27k-20)-27(35k-26)$ $=-35\times 20+27\times 26$ $=2$. - Soient $u$ et $v$ le nombres de périodes effectuées respectivement par $A$ et $B$ entre $j_0$ et $j_1$, on sait d'aprés la question précédente que:
$u=27k-20$ et $v=35k-26$, mais $u$ et $v$ sont positifs , donc $k\geq 1$
le nombre de jours qui s'écouleront entre $j_0$ et $j_1$ est de $(27\times 1-20)\times 105$ $=735$ jours. On peut faire aussi le calcul $(35-26)\times 81+6=735$ jours.
Il faudra donc attendre 735 jours avant la nouvelle conjonction des objet $A$ et $B. - Une année =365 jours, donc comme $735=2\times 365+5$, il faudra attendre 2 années et 5 jours aprés le samedi 16 décenbre.
- Pour obtenir la conjonction suivante prenons $k=2$ on $u=27\times 2-20$ et $v=35\times 2-26$.
Donc le nombre de jours qui s'écouleront entre $j_0$ et $j_2$ $u\times 105$ $=3570$ jours.
Exercices:
Résoudre une équation de la forme ax+by=c.
- Déterminer les entiers $x$ et $y$ tels que $6x+11y=1$.
- Déterminer les entiers $x$ et $y$ tels que $6x+11y=7$.
- On remarque que le couple $(2;-1)$ est une solution particuliére de l'équation $6x+11y=1$
Recherchons l'ensemble des solutions. Soit $(x,y)$ solution de $6x+11y=1=6(2)+11(-1)$ $\Leftrightarrow$ $6\times (x-2)=11(-1-y)$.
11 divise $6\times (x-2)$ et $PGCD(6,11)=1$, d'aprés le théorème de Gauss, 11 divise (x-2), il existe donc un entier relatif $k$, tel que $x-2=11k$ $\Leftrightarrow$ $x=11k+2$. En remplacant $x$ dans l'équation $6\times (x-2)=11(-1-y)$, on obtient $y=-6k-1$. - Si le couple $(2;-1)$ est solution de $6x+11y=1$, alors $(14;-7)$ est solution de $6x+11y=7$.
Recherchons l'ensemble des solutions. Soit $(x,y)$ solution de $6x+11y=7=6(14)+11(-7)$ $\Leftrightarrow$ $6\times (x-14)=11(-7-y)$. Le raisonnement reste le même que précédemment, donc au final on obtient $x=11k+14$ et $y=-6k-7$.
Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-3;28)$ et $B(24;10)$.- Trouver une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
- Démontrer que les coordonnées de $A$ et $B$ vérifie l'équation $\mathcal{(E)}:2x=3(26-y)$.
Résoudre l'équation $(\mathcal{E})$. - Déduisez-en les points du segment $[AB]$ dont les coordonnées sont entières.
- $M(x;y)\in(AB)$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ $\begin{array}[pos]{|cc|} x+3&27\\ y-28&-18\\ \end{array}$ $\Leftrightarrow$ $-18(x+3)-27(y-28)=0$ $\Leftrightarrow$ $2x=3(26-y)$.
- Evident puisque la relation $2x=3(26-y)$ est une équation de la droite $(AB)$.
- 3 divise 2x, donc 3 divise x, il existe un entier relatif $k$, tel que $x=3k$. Nous en déduisons que $2\times 3k=3(26-y)$, donc $26-y=2k$.
Donc $y=26-2k$.
Réciproquement si $x=3k$ et $y=26-2k$ la relation de l'équation $(\mathcal{E})$ est vérifiée. - Les points de la droite $(AB)$ ayant des coordonnées entières ont pour coordonnées $(3k;26-2k)$, $k\in\mathbb{Z}$.
Utiliser le corollaire du théorème de Gauss.
Soit $n\in\mathbb{N}^\star$, démontrer que $n(n^4-1)$ est divisible par 30.$n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)$ $=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$. Nous savons que le produit de trois entiers consécutifs est divisible par $3$.
Donc $n(n-1)(n+1)$ est divisible par 3. Avec le même argument $n(n+1)$ est divisible par 2. Montrons que $n(n^4-1)$ est divisible par 5, formons par exemple un tableau de congruence modulo 5.
Conclusion:Pour tout $n\in\mathbb{Z}$ on a $n(n^4-1)\equiv 0[5]$. Donc $n(n^4-1)$ est divisible par 5.$n[5]$ $0[5]$ $1[5]$ $2[5]$ $3[5]$ $4[5]$ $n^4[5]$ $0[5]$ $1[5]$ $1[5]$ $1[5]$ $4[5]$ $(n^4-1)[5]$ $4[5]$ $0[5]$ $0[5]$ $0[5]$ $3[5]$ $n(n^4-1)[5]$ $0[5]$ $0[5]$ $0[5]$ $0[5]$ $0[5]$
Or les nombre 2;3 et 5 sont premiers entre eux donc d'aprés le corollaire du théorème de Gauss $n(n^4-1)$ est divisible par $2\times3\times 5=30$.
Définition.
Exemples.
Propriétés.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.