Fonction Logaritme Népérien $x\to\ln(x)$ .

Théoréme définition:

L'équation $exp(x)=t$ , où $t$ est un réel quelconque strictement positif, admet une solution unique dans $\mathbb{R}$ .
Il existe une fonction définie sur $]0;+\infty[$ qui à tout réel $t$ , $t>0$ , associe l'unique réel x tel que $exp(x)=t$ .
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien et notée $\ln$ .

Remarques.

la fonction $\exp$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $]0;+\infty[$ .
la fonction $\ln$ est aussi une bijection de $]0;+\infty[$ dans $\mathbb{R}$ . On a de plus que: $\forall x\in\mathbb{R}$ nous avons: $\ln(\exp(x))=\ln(e^x)=x.$
$\forall x\in]0;+\infty[$ nous avons $\exp(\ln(x))=e^{\ln(x)}=x.$
$\forall x\in\mathbb{R}$ et $\forall t\in\mathbb{R}^\star_+$ on a $\exp(x)=t\Leftrightarrow x=\ln(t).$
On dit que les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont des fonctions réciproques.

Propriétés sur les courbes des fonction exponentille et logarithme.

Dans un repère orthonormal $(0,\vec{i},\vec{j})$ les courbes $\mathcal{C}:y=e^x$ et $\Gamma:y=\ln(x)$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta:y=x$ .

Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien.

Théoréme définition:

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ on a $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ .
Pour tout réel $x>0$ on a $\ln(\displaystyle\frac{1}{x})=-\ln(x)$ .
Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ on a $\ln(\displaystyle\frac{x}{y})=\ln(x)-\ln(y)$ .
Pour tout réel $x>0$ et pour tout entier naturel $p$ on a $\ln(x^p)=p\ln(x)$ .
Pour tout réel $x>0$ on a $\ln(\sqrt{x})=\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x)$ .

Démontrons que si $x>0$ et $y>0$ alors on a $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ .

$exp(\ln(x)+\ln(y))=exp(\ln(x))\times exp(\ln(y))=xy$

$exp(\ln(xy))=xy$

$exp(\ln(x)+\ln(y))=exp(\ln(xy))$

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$

Démontrons que si $x>0$ alors on a $\ln(\displaystyle\frac{1}{x})=-\ln(x)$ .

$\ln(\displaystyle\frac{1}{x})+\ln(x)=\ln(\dfrac{1}{x}\times x)=\ln(1)=0, donc \ln(\displaystyle\frac{1}{x})=-\ln(x)$

Démontrons que si $x>0$ et $y>0$ alors on a $\ln(\displaystyle\frac{x}{y})=\ln(x)-\ln(y)$ .

$exp(\ln(x)-\ln(y))=\dfrac{exp(\ln(x))}{ exp(\ln(y))}=\dfrac{x}{y}$

$exp(\ln(\dfrac{x}{y}))=\dfrac{x}{y}$

$exp(\ln(x)-\ln(y))=exp(\ln(\dfrac{x}{y}))$

$\ln(\dfrac{x}{y})=\ln(x)-\ln(y)$

Démontrons que si $x>0$ et $p\in\mathbb{N}$ alors on a $\ln(x^p)=p\ln(x)$ .

si p=0 $\ln(x^0)=\ln(1)=0$ et $0\times\ln(x)=0$ , donc la propriété est vraie au rang 0.
$\ln(x^{p+1})=\ln(x^p\times x)=\ln(x^p)+\ln(x)=n\ln(x)+\ln(x)=(n+1)\ln(x)$ . la propriété est vraie au rang $n+1$ .
Conclusion: pour tout $p\in\mathbb{N}$ nous avons $\ln(x^p)=p\ln(x)$ .

Démontrons que si $x>0$ alors on a $\ln(\sqrt{x})=\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x)$ .

$x>0$

$x=(\sqrt{x})^2$

$\ln(x)=\ln((\sqrt{x})^2)=2\times\ln(\sqrt{x})$

$\ln(\sqrt{x})=\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x)$

Transformer une expression.

Sans calculatrice, simplifier les expressions suivantes: $A=e^{\ln(2)}$ , $B=e^{\ln(2)+\ln(5)}$ , $C=e^{2ln(9)}$ et $D=e^{3\ln(5)-\ln(15)}$ .

$A=2$
$B=e^{\ln(2)+\ln(5)}=e^{\ln(2\times 5)}=10.$
$C=e^{2ln(9)}=e^{ln(9^2)}=81.$
$D=e^{3\ln(5)-\ln(15)}=e^{\ln\bigg(\dfrac{5^3}{15}\bigg)}=\dfrac{25}{3}.$

Equations, inéquation logarithmique.

Equations du type $e^{f(x)}=k$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$e^x=4$
$e^{3x}=0.2$
$e^{-4x+2}=2$ .

$e^x=4\Leftrightarrow x=\ln(4).$
$e^{3x}=0.2\Leftrightarrow 3x=\ln(0.2)=-\ln(5)\Leftrightarrow x=\dfrac{-\ln(5)}{3}.$
$e^{-4x+2}=2\Leftrightarrow -4x+2=\ln(2)\Leftrightarrow -4x=\ln(2)-2\Leftrightarrow x=\dfrac{2-\ln(2)}{4};$

Inéquation de la forme $e^{(f(x))}\leq k$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$e^x>2$
$e^{3x}\leq 1$
$e^{-x+1} < 3$ .

$e^x>2\Leftrightarrow x>\ln(2).$ donc $S=]\ln(2);+\infty[$ .
$e^{3x}\leq 1\Leftrightarrow 3x\leq \ln(1)=0\Leftrightarrow x\leq 0$ .
$e^{-x+1} < 3\Leftrightarrow -x+1 < ln(3)\Leftrightarrow x>1-\ln(3).$

Equations du type $\ln(f(x))=\ln(g(x))$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x^2-1)=\ln(x+5)$ .

Déterminons le domaine de définition de cette équation:
$\ln(x^2-1)$ existe si et seulement si $x^2-1>0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)>0\leftrightarrow x\in]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$ .
$\ln(x+5)$ existe si et seulement si $x+5>0\Leftrightarrow x>-5 x\in]-5;+\infty[$ .
Donc pour que cette équation soient définie il faut que $x\in]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$ et $x\in]-5;+\infty[$ .
Donc $x\in]-5;-1[\cup]1;+\infty[$ .
Pour tout $x\in]-5;-1[\cup]1;+\infty[$ nous avons l'équivalence $\ln(x^2-1)=\ln(x+5)\Leftrightarrow x^2-1=x+5\Leftrightarrow x^2-x-6=0$ .
Résolvons l'équation du second degré: $x^2-x-6=0$ . nous avons $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times(-6)=25>0$ .
L équation admet donc deux solutions distinctes $x_0=\dfrac{1-5}{2}=-2$ et $x_1=\dfrac{1+5}{2}=3$ .
$-2\in]-5;-1[\cup]1;+\infty[$ et $3\in]-5;-1[\cup]1;+\infty[$ . Donc $S=\bigg{-2;3\bigg}$ .

Interprétation graphique de l'équation.

Equations du type $\ln(f(x))\leq\ln(g(x))$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(3x-3)\geq\ln(x+5)$ .

Déterminons le domaine de définition de cette équation:
$\ln(3x-3)$ existe si et seulement si $3x-3>0\Leftrightarrow x\in ]1;+\infty[$ .
$\ln(x+5)$ existe si et seulement si $x+5>0\Leftrightarrow x>-5\Leftrightarrow x\in]-5;+\infty[$ .
Donc pour que cette équation soient définie il faut que $x\in]1;+\infty[$ .
Pour tout $x\in]1;+\infty[$ nous avons l'équivalence $\ln(3x-3)\geq\ln(x+5)\Leftrightarrow 3x-3\geq x+5\Leftrightarrow x\geq 4$ .
tout réel dans l'intervalle $[4;+\infty[$ appartient au domaine de validité de l'inéquation $]1;+\infty[$ .
Donc $S=[4;+\infty($ .

Interprétation graphique de l'équation.

Dérivée de la fonction $\ln:x\to\ln(x)$ , dérivée d'une fonction $x\to\ln\circ u(x)$ .

Dérivée de la fonction $\ln:x\to\ln(x)$ .

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\ln^{'}(x)=\dfrac{1}{x}$ .

Soit

$x\in]0;+\infty[$ montrons que la fonction

$\ln$ est dérivable en

$a>0$ .
Soit

$x>0$ et

$a>0$ avec

$x\not=a$ , calculons la fraction

$\dfrac{\ln(x)-\ln(a)}{x-a}=\dfrac{\ln(x)-\ln(a)}{e^{\ln(x)}-e^{\ln(a)}}$

$\dfrac{\ln(x)-\ln(a)}{e^{\ln(x)}-e^{\ln(a)}}=\dfrac{1}{\dfrac{e^{\ln(x)}-e^{\ln(a)}}{\ln(x)-\ln(a)}}$ . Nous savons de plus que la fonction exponentielle est dérivable sur

$\mathbb{R}$ donc en particulier en

$\ln(a)$ .
donc ,nous avons

$\displaystyle\lim_{X\to_ln(a)}\dfrac{e^X-e^{\ln(a)}}{X-\ln(a)}=exp^{'}(\ln(a))=a$ avec

$a>0$ . la fonction

$\ln$ est continue en

$a$ . donc

$\displaystyle\lim_{x\to a}\ln(x)=\ln(a)$ , donc

$\displaystyle\lim{x\to a}\dfrac{e^{\ln(x)}-e^{\ln(a)}}{\ln(x)-\ln(a)}=a$ .
Conclusion: Nous avons

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{\dfrac{e^{\ln(x)}-e^{\ln(a)}}{\ln(x)-\ln(a)}}=\dfrac{1}{a}$

Donc

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{\ln(x)-\ln(a)}{x-a}=\dfrac{1}{a}$ pour

$a>0$ , la

$x\to\ln(x)$ est dérivable en

$a$ et

$\ln^{'}(a)=\dfrac{1}{a}$ .

Dérivée de la fonction $x\to\ln[u(x)]$ .

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et , alors la fonction $x\to\ln[u(x)]$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ on a: $(\ln\circ u)^{'}(x)=\dfrac{u^{'}(x)}{u(x)}$ .

Exercice:

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes, on indiquera aussi l'intervalle de dérivation.
$f(x)=\ln(2x+6)$ , $g(x)=\ln(4-x^2)$ et $h(x)=\ln(x(x-1))$ .

$f(x)=\ln(2x+6)=\ln(u(x))$ avec $u(x)=2x+6$ , pour que $f$ soit dérivable il faut que $u(x)>0$ .

$u(x)>0\Leftrightarrow 2x+6>0\Leftrightarrow x>-3$

$x\in]-3;+\infty[$

$f^{'}(x)=\dfrac{u^{'}(x)}{u(x)}=\dfrac{2}{2x+6}=\dfrac{1}{x+3}$

$g(x)=\ln(4-x^2)=\ln(u(x))$ avec $u(x)=4-x^2$ , pour que $g$ soit dérivable il faut que $u(x)>0$ .

$u(x)>0\Leftrightarrow 4-x^2>0\Leftrightarrow (2-x)(2+x)>0$

$(2-x)(2+x)$

$x\in]-2;2[$

$g^{'}(x)=\dfrac{u^{'}(x)}{u(x)}=\dfrac{-2x}{4-x^2}=\dfrac{2x}{x^2-4}=\dfrac{2x}{(x-2)(x+2)}$

Calculs des limites du logarithme en 0 et $+\infty$ .

Théoréme.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$

Démontrons que: $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ .
D'après la définition de la limite égale à $+\infty$ en $+\infty$ : pour tout réel A strictement positf (aussi grand que l'on veut), nous devons montrer l'existence d'un réel $a$ tel que si $x>a$ alors $\ln(x)>A$ .
Nous savons que $\ln(x)>A$ $\Leftrightarrow$ $x>e^A$ . Donc dès que $x>a=e^A$ alors nous avons $\ln(x)>A$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ .
Démontrons que: $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$ .
On remarque que $\ln(x)=-\ln(\dfrac{1}{x})$ pour tout $x>0$ . Donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x)$ $=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}-\ln(\dfrac{1}{x})$ . $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ , donc par composition des limites, nous avons $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(\dfrac{1}{x})=+\infty$ .
Donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x)$ $=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\bigg(-\ln(\dfrac{1}{x})\bigg)=-\infty$ .

Croissance comparée du logarithme et x.

Théoréme.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$	$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0$
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1$	$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1$

Montrons que

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ .
Pour tout

$x\in\mathbb{R}$ , on a:

$\dfrac{\ln(x)}{x}=\dfrac{\ln(x)}{e^{\ln(x)}}$

$=\dfrac{1}{\dfrac{e^{\ln(x)}}{\ln(x)}}$ . Posons

$X=ln(x)$ .
Nous avons

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ , donc

$X\to+\infty$ .
Par composition des limites, nous avons

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\Bigg(\dfrac{1}{\dfrac{e^{X}}{X}}\Bigg)$ . Nous savons que

$\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\dfrac{e^X}{X}=+\infty$ , donc

$\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\Bigg(\dfrac{1}{\dfrac{e^{X}}{X}}\Bigg)=0$ .
Conclusion:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ .

Montrons que

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0$ .
Posons

$X=\dfrac{1}{x}$

$\Leftrightarrow$

$x=\dfrac{1}{X}$ . Pour tout

$x>0$ , nous avons

$x\ln(x)=\dfrac{1}{X}\ln(\dfrac{1}{X})$

$=-\dfrac{\ln(X)}{X}$ , donc

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=\displaystyle\lim_{X\to +\infty}\bigg(-\dfrac{\ln(X)}{X}\bigg)=0$ .

Montrons que

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1$ .
Remarquons que

$\dfrac{\ln(x)}{x-1}=\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}$ , pour tout

$x>0$ et

$x\not=1$ . Nous savons que la fonction

$f(x)=ln(x)$ est dérivable sur

$]0;+\infty[$ .
Donc en particulier en

$1$ . Si nous réécrivons la définition du nombre dérivé

$f'(1)$ , on a:

$f'(1)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1))}{x-1}$

$=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=f'(1)$ . Or nous savons que

$f'(x)=\dfrac{1}{x}$ , donc

$f'(1)=1$ .
Conclusion:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1$ .

Montrons que

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1$ . Pour démontrer cette limite, if suffit de remarquer que:

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(x+1)}{x}$

$=\displaystyle\lim_{u\to 1}\dfrac{\ln(u)}{u-1}$ , il suffit de poser

$u=x+1$ .
Comme

$\displaystyle\lim_{u\to 1}\dfrac{\ln(u)}{u-1}=1$ (voir la limites précédente dans le tableau). Donc

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(x+1)}{x}=1$ .

Exemples de calculs de limites.

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{2x+1}{\ln(x)}$	$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)+x}{x}$	$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{3x+2}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{\ln(x)+x}$	$\displaystyle\lim_{x\to 0}e^{x^2\ln(2x)}$

Calculons

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{2x+1}{\ln(x)}$ .

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}2x+1=1$ .

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$ . Donc d'après les règles opératoires sur les limites, nous avons:

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{2x+1}{\ln(x)}=0$ .

Nous sommes en présence d'une forme indéterminée du type

$\infty-\infty$ .
Pour tout

$x>0$ on a:

$\ln(x)-x=x(\dfrac{\ln(x)}{x}-1)$ . Nous savons d'après le cours que

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ . Donc

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}-1=-1$ . Donc

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x(\dfrac{\ln(x)}{x}-1)=-\infty$ .

Nous sommes en présence d'une forme indéterminée du type

$\dfrac{\infty}{\infty}$ .
Pour tout

$x>0$ on a:

$\dfrac{\ln(x)+x}{x}=\dfrac{\ln(x)}{x}+1$ . Donc

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}+1=1$ .

Nous sommes en présence d'une forme indéterminée du type

$\dfrac{\infty}{\infty}$ .
Pour tout

$x>0$ nous avons,

$\dfrac{\ln(x)}{3x+2}=\dfrac{\dfrac{\ln(x)}{x}}{3+\dfrac{2}{x}}$ . Nous avons que

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ et

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}3+\dfrac{2}{x}=3$ , donc par conséquent nous avons

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{\ln(x)}{x}}{3+\dfrac{2}{x}}=0$ .
Donc

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{\ln(x)+x}=0$ .

Nous sommes en présence d'une forme indéterminée du type

$\dfrac{\infty}{\infty}$ .
Pour tout

$x>0$ nous avons

$\dfrac{\ln(x)}{\ln(x)+x}=\dfrac{\dfrac{\ln(x)}{x}}{\dfrac{\ln(x)}{x}+1}$ , or

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\dfrac{\dfrac{\ln(x)}{x}}{\dfrac{\ln(x)}{x}+1}\Bigg)=0$ .
Donc,

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{\ln(x)+x}$ .

Transformons l'écriture de

$e^{x^2\ln(2x)}$ .
Pour tout

$x>0$ ,

$e^{x^2\ln(2x)}=e^{x^2(\ln(x)+\ln(2)}$

Etude des fonctions comportant la fonction logarithme.

Exercices.

Etudier les variations des fonctions $f$ suivantes. Calculer les limites de $f aux bornes du domaine.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=2x-4-7\ln(x)$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x(\ln(x)-3)$ .

Logarithme décimal, utilisation en physique-chimie.

Définition.

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée $\log$ définie sur $]0;+\infty[$ par: $\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$ .

Proposition.

$\log(10)=1$ et $\log(1)=0$ .
La fonction $\log$ est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ .
La fonction $\log$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .
Pour tout a,b\in]0;+\infty[ on a:
- $\log(a\times b)=\log(a)+\log(b)$ .
- $\log\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)=\log(a)-\log(b)$ .
- $\log(a^n)=n\log(a).$
Pour tout $x\in]0;+\infty[$ on a $\log^{'}=\dfrac{1}{\ln(10)}\times\dfrac{1}{x}$ .

Remarque.

Par exemple en chimie on a la formule suivante, reliant le $PH$ et la concentration en ion $H_3O^+$ exprimée en $mol.l^{-1}$ :
$PH=-\log([H_3O^+]).$

Fonction Logaritme Népérien x→ln(x)x\to\ln(x).

Théoréme définition:

Remarques.

Propriétés sur les courbes des fonction exponentille et logarithme.

Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien.

Théoréme définition:

Transformer une expression.

Equations, inéquation logarithmique.

Equations du type ef(x)=ke^{f(x)}=k.

Inéquation de la forme e(f(x))≤ke^{(f(x))}\leq k.

Equations du type ln(f(x))=ln(g(x))\ln(f(x))=\ln(g(x)).

Interprétation graphique de l'équation.

Equations du type ln(f(x))≤ln(g(x))\ln(f(x))\leq\ln(g(x)).

Interprétation graphique de l'équation.

Dérivée de la fonction ln:x→ln(x)\ln:x\to\ln(x), dérivée d'une fonction x→ln∘u(x)x\to\ln\circ u(x).

Dérivée de la fonction ln:x→ln(x)\ln:x\to\ln(x).

Dérivée de la fonction x\to\ln[u(x)]x\to\ln[u(x)].

Exercice:

Calculs des limites du logarithme en 0 et +\infty+\infty.

Théoréme.

Croissance comparée du logarithme et x.

Théoréme.

Exemples de calculs de limites.

Etude des fonctions comportant la fonction logarithme.

Exercices.

Logarithme décimal, utilisation en physique-chimie.

Définition.

Proposition.

Remarque.

Fonction Logaritme Népérien $x\to\ln(x)$ .

Equations du type $e^{f(x)}=k$ .

Inéquation de la forme $e^{(f(x))}\leq k$ .

Equations du type $\ln(f(x))=\ln(g(x))$ .

Equations du type $\ln(f(x))\leq\ln(g(x))$ .

Dérivée de la fonction $\ln:x\to\ln(x)$ , dérivée d'une fonction $x\to\ln\circ u(x)$ .

Dérivée de la fonction $\ln:x\to\ln(x)$ .

Dérivée de la fonction $x\to\ln[u(x)]$ .

Calculs des limites du logarithme en 0 et $+\infty$ .